运筹学课件第7章 图与网络模型

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1、第7章图与网络模型重庆三峡学院关文忠http://blog.sina.com.cn/guanwenzhong教学目标与要求【教学目标】通过对本章的学习，理解图的基本概念；掌握最小支撑树、最短路、最大流、中国邮路问题的求法；会利用相关模型解决合理组织人力、物力、财力的优化问题。【知识结构】9/6/2021管理运筹学课件导入案例——七桥问题18世纪德国哥尼斯堡如图（a）七座桥，能否不重复一次走完并回到出发地？（a）七桥问题示意图（b）七桥问题简单图1736年，欧拉在圣彼得堡科学院作了一次学术报告。在报告中，他证明了鉴别任一图形能否一笔画出的准则，即欧拉定理。9/6/2021管理运筹学课件导入

2、案例——四色问题“任何一张地图只用四种颜色就能使有共同边界的国家着上不同的颜色。”1852年，英国搞地图着色工作的格思里，首先提出了四色问题。1872年，英国数学家凯利正式向伦敦数学学会提出这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。美国数学教授哈肯和阿佩尔于1976年6月,使用伊利诺斯大学的电子计算机计算了1200个小时，作了100亿个判断，终于完成了四色定理的证明。不过不少数学家认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。各省用点表示,有边界接壤的用连线表示,则:这张地图有几种颜色?能区分各省的边界吗?9/6/2021管理运筹学课件导入案例运筹学中把一些研究对象用节点表示，对象之间的关

3、系用连线边表示。用点、边的集合构成图。图论是研究有节点和边所组成图形的数学理论和方法。图是网络分析的基础，根据具体研究的网络对象（如：铁路网、电力网、通信网等），赋予图中各边某个具体的参数，如时间、流量、费用、距离等，规定图中各节点代表具体网络中任何一种流动的起点，中转点或终点，然后利用图论方法来研究各类网络结构和流量的优化分析。图论广泛地应用于物理学、化学、信息论、科学管理、电子计算机等各个领域。如在管理中网络合理架设、网络承载能力分析、服务设施布点、匹配问题等。9/6/2021管理运筹学课件本章主要内容7.1图的基本概念7.2树图及图的最小支撑树7.2.1树图的基本性质7.2.2最小

4、支撑树的求法:避圈法和破圈法案例7-1印第安那州公路规划问题7.3最短路问题7.3.1两点间最短路的Dijkstra标号算法7.3.3各点间最短路的矩阵算法*案例7-2设备更新问题7.4中国邮递员问题案例7-3货场巡视路线7.5网络最大流问题7.5.1基本概念7.5.2Ford-Fulkerson标号算法案例7-4航空公司的最大流量7.6最小费用流问题*7.6.1最小费用流的数学模型7.6.2最小费用最大流的标号算法案例7-5货物配送问题本章小结9/6/2021管理运筹学课件7.1.1图的若干示例【例7.1】有A、B、C、D、E5个球队，已比赛过，就在这两队相应的点之间连一条线.[P1]

5、【例7.2】8种化学药品，不能存放在同一个库房里的用连线表示。【例7.3】若在五支球队比赛中，甲胜乙表示为“甲→乙”，则右图表明A三胜一负，B和E一胜一负，C和D一胜两负。9/6/2021管理运筹学课件7.1.2图的基本概念图（Graph）由点（Vertex）和点之间的连线所构成的集合。不带箭头的连线称为边（Edge）；带前头的连线称为弧（Arc）。点和边的集合称为无向图（Undirectedgraph），如图7.5(a)，简称图，用G={V，E}表示；点和弧的集合称为有向图（Directedgraph），如图7.5(b)，用D={V，A}表示。有向图去掉箭头所形成的无向图称为该有向图的

6、基础图（underlyinggraph）。端点，关联边，相邻若边e=[u,v]∈E，则称u,v是e的端点，称e是点u或v的关联边。有公共关联边的点称为点相邻；公共端点的边称为边相邻。环，多重边，简单图，多重图两个端点重合的边称为环；若两个点之间有多于一条的边，称为多重边；一个无环、无多重边的图称为简单图；一个无环，但允许有多重边的图称为多重图。图7.5(a)v1v2v3v4e1e2e3e4e5a1a2a3v1v2v3v5e6图7.5(b)9/6/2021管理运筹学课件7.1.2图的基本概念次，奇点，偶点，孤立点，悬挂点，悬挂边点的关联边的数目称为的次(也称度或线度)，记为d(v)(环在计

7、算时算作两次，称为入次和出次)；次为奇数的点称为奇点；次为偶数的点称为偶点；次为0的点称为孤立点；次为1的点称为悬挂点；与悬挂点相边关联的边称为悬挂边。【定理7.1】图中，所有顶点的次之和是边数的2倍。【定理7.2】任一个图中，奇点的个数为偶数。链，圈，路，回路，连通图点和边的交错序列中，若边各不相同称为链；封闭的链称为圈；在链中如果点也各不相同称为路；起点与终点重合的路称为回路；任意两点之间至少能找到一条链的图称为连通图。图7.5