《高数上册总复习》PPT课件

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1、高数复习重点（上）一、函数的极限，连续、可导1.函数的极限（1）重要极限；（2）等价无穷小代换；（3）洛必塔法则；2.函数连续（左右连续，间断点类型）、可导的定义重点：分段函数在分界点处之连续性与可导性二、函数求导和微分、复合函数求导，高阶导数，利用参数方程求曲线的切线方程和法线方程，微分中值定理的应用1.函数求导和微分重点:隐函数和参数方程求导(包括二阶导数）变上限函数求导.2.复合函数求导3.高阶导数重点:二阶导数4.利用参数方程求曲线的切线方程和法线方程6.微分中值定理的应用（1）零点定理P61（2）中值定理的应用（证明题）5.导数的应用：

2、单调区间、凹凸区间，极值与最值，拐点，渐近线三、不定积分与定积分1.求积分：原函数与不定积分的概念，换元法和分部积分法，倒代换，对称性，广义积分.2.定积分的几何应用：平面图形的面积和旋转体的体积四、微分方程：一阶线性微分方程，可降阶微分方程，二阶常系数齐次线性微分方程，二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式.例1：求极限解：//参考题答案：答案：1例1解例2：设解：例3解：微分法解：例4：已知可导，求例5：已知解：令则y=f(u),x=0时u=1例1解例5证明：例5证明：f(x)在（0，+）上单调增加，故当x>0时，必有亦即//例1:求的单

3、调增减区间和极值解：令得驻点x=1,又x=0为不可导点不存在极大值极小值在(,0)和(1,+)上单调增加，在(0,1)上单调减少，f(0)=0为极大值，f(1)=0.5为极小值五、不定积分计算重点：（1）凑微分法与分部积分法的结合例1：设解：求（2）两次分部积分后，表达式含所求不定积分重点：（1）对称区间上奇函数和偶函数积分性质若f(x)为偶函数，即若f(x)为奇函数，即1.求积分：原函数与不定积分的概念，换元法和分部积分法，倒代换，对称性，广义积分.例1：求解：（2）分段函数的积分例2：设解：类似地有被积函数为绝对值或开根号，例如（3）

4、定积分的换元法和分部积分法解：例1：设f(x)有一个原函数，求例2计算解：原式换元时，若不写出代换变量，则不要换上、下限.例3计算解令原式原式例3计算解令原式=例4：计算解：这是一个以1为瑕点的反常积分（4）瑕积分计算三、不定积分与定积分1.求积分：原函数与不定积分的概念，换元法和分部积分法，倒代换，对称性，广义积分.2.定积分的几何应用：平面图形的面积和旋转体的体积图形的面积元素为xyo（1）A可以看作为两个曲边梯形面积的差（2）右边的被积函数可以看作是上边曲线方程与下边曲线方程的差曲边扇形的面积二、极坐标系情形·面积元素问题：一般地，考虑如图

5、所示的曲边梯形绕x轴旋转一周而形成的空间立体，其体积为多少？旋转体的体积xyo所以考虑以dx为底的窄曲边梯形绕x轴旋转而成的薄片V体积的近似值其体积可以近似看作以f(x)为底半径，高为dx的薄圆柱体的体积，即体积元素或（4）平面两曲线所围之平面图形面积重要题型：设曲线将圆分为两部分，两部分面积之比为1:3，试确定a的值七、微分方程1。一阶线性微分方程的通解例1已知函数f(x)满足:解求f(x).其通解为为确定常数C，需要一个初始条件。考虑t=1，1.已知函数f(x)满足:求f(x).参考习题答案：2.设连接两点A(0,1),B(1,0)的一条凸

6、弧，P(x,y)为凸弧AB上的任意一点，已知凸弧与弦AP之间的面积为求此凸弧的方程。答案：例4：已知函数f(x)满足:求f(x).解：两边求导例4：已知函数f(x)满足:求f(x).解：两边求导2。二阶常系数非齐次微分方程满足初始条件的特解（非齐项为类型）重点：解对应齐次方程通解特征方程特征根：代入方程,化简得原方程通解为例1求二阶常系数齐次线性微分方程（1）的通解的步骤如下：第一步写出方程（1）的特征方程（2）第二步求出特征方程（2）的两个根第三步根据特征方程（2）的两个根的不同情形，对应写出方程（1）的通解.（1）（2）特征方程（2）的根的判

7、别式特征方程（2）的根的情形微分方程（1）的通解两个不相等的实根两个相等的实根一对共扼复根其中：是常数，对应齐次方程的特征方程：综上讨论，方程的特解总可设为其中：可用待定系数法确定.方程（3）的特解已在前面讨论过，特征方程是实系数二次方程，所以只有两种情况.方程（3）的特解：是与同次的多项式，系数待定.