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1、全微分的定义可微的条件小结作业totaldifferentiation第三节全微分第八章多元函数微分法及其应用1函数的变化情况.偏导数讨论的只是某一自变量变化时函数的变化率.现在来讨论当各个自变量同时变化时全微分2先来介绍全增量的概念为了引进全微分的定义,全增量.域内有定义,函数取得的增量全增量.全微分一、全微分的定义3全微分的定义处的全微分.全微分可表示为可微分,在点则称函数称为函数记作即函数若在某平面区域D内处处可微时,则称可微函数.这函数在D内的而不依赖于4可微与偏导数存在有何关系呢？微分系数注全微分有类似一元函数微分的A=?B=?两个性质
2、:全微分全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.的线性函数;高阶无穷小.51.可微分的必要条件(可微必可导).定理1(可微必要条件)如果函数可微分,且函数的全微分为全微分二、可微的条件6证总成立,同理可得上式仍成立,此时的某个邻域如果函数可微分,全微分可微分,7都不能保证函数在该点连续.多元函数在某点可微是否保证事实上,显然,答:由全微分的定义有可得多元函数可微必连续连续的定义不连续的函数上一节指出,多元函数在某点各个偏导数即使都存在,函数在该点连续如果函数可微分,则函数在该点连续.一定是不可微的.全微分8多元函数的各偏导数存在全微分存在．如，下
3、面举例说明二元函数可微一定存在两个偏导数.一元函数在某点的导数存在微分存在．回忆:一元函数的可导与可微的关系?但两个偏导数都存在函数也不一定可微.(由偏导数定义可求得)由定理1知全微分9则说明它不能随着而趋于0,因此,如果考虑点沿直线趋近于全微分10说明各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件.这也是一元函数推广到多元函数出现的又函数是可微分的.多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在.一个原则区别.现再假定函数的则可证明全微分各个偏导数连续,112.可微分的充分条件定理2(微分充分条件)全微分偏导数证明:省略12在原点(0,0)可微
4、.并非必要条件.如事实上,注定理2的条件(即两个偏导数在点连续)可微的充分全微分仅是函数在点条件,同样,13全微分在原点(0,0)可微.于是,14即函数f(x,y)在原点(0,0)可微.但是,事实上,偏导数在原点(0,0)不连续.全微分所以,特别是不存在.即fx(x,y)在原点(0,0)不连续.极限fy(x,y)在原点(0,0)也不连续.同理可证,函数在一点可微,此题说明:在这点偏导数不一定连续.15记全微分为通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和叠加原理也适用于二元以上函数的情况.习惯上,称为二元函数的微分符合叠加原理．全微分如三元函数则
5、16解全微分计算函数在点的全微分.所以例17解全微分例18答案练习全微分19全微分解例试比较的值.20全微分2002年考研数学一,3分考虑二元函数f(x,y)的下面4条性质:①f(x,y)在点(x0,y0)处连续,②f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数连续,③f(x,y)在点(x0,y0)处可微,④f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在.若用“ ”表示可由性质P推出性质Q,则有(A)②③①.(B)③②①.(C)③④①.(D)③①④.单项选择题21连续.D全微分结论不正确的是().都存在,22D全微分23全微分填空题24(非)
6、事实上,全微分是非题25全微分的定义全微分的计算多元函数极限、连续、偏导、可微的关系(注意：与一元函数有很大的区别)全微分可微分的必要条件、可微分的充分条件三、小结26对一元函数的极限、连续、可导、可微间的关系：可微可导连续有极限对多元函数的极限、连续、可导、可微的关系：偏导连续可微连续有极限有偏导全微分27全微分全微分公式恒成立吗?不一定.考虑函数思考题128作业习题8-3(28页)1.(3)(4)2.3.29(A)偏导数不存在;(B)不可微;(C)偏导数存在且连续;(D)可微.全微分(选择正确答案)补充题30
