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1、第一节不定积分的概念与性质本节要点本节通过原函数引出了不定积分的概念,并得到不定一、原函数与不定积分二、不定积分的计算积分的简单性质.一、原函数和不定积分的概念1.原函数在第二章中曾提出对已知求的求导问题,而现在的问题是:的这类问题就是求原函数问题.若已知,求满足即对任一都有定义3.1如果在区间内的可导函数的导函数为或则称函数为在区间内的一个原函数.例如函数的一个原函数为又如,这是因为故,的原函数为我们知道,对函数而言,如果导函数存在的话,导函数是唯一的,但某个函数的原函数是否唯一呢？为此,先引入:间内存在可导函数使得对任一都有即连续函数一定存在原函数.如果是的原函数,则的原
2、函数.其中为任意常数;并且的原函数一定可写成的形式.原函数存在定理如果函数在区间内连续,则在区也是2.不定积分由上面的讨论,可得到如下定义:定义3.2在区间内,函数的带有任意常数的原函数称为在区间内的不定积分,记作其中记号称为被积函数，称为积分号，称为被积表达式，称为积分变量．由此定义知,若是的一个原函数,则的不定积分为可见,要计算函数的不定积分,只需找出它的一个原函数即可.例3.1容易得到下面的不定积分:注1在不定积分表达式中最后的常数不能漏掉.注2如果不计任意常数，不定积分运算与求导运算是互逆的．因为，由定义可知二、基本积分公式由原函数的定义,以及求导公式,可以得到下面这
3、些基本积分公式.例3.2求解倒数关系例3.3求解例3.4求解三、不定积分的性质和应用举例由原函数与不定积分的定义不难得到如下不定积分的性质:不定积分的性质性质1两个函数和（差）的不定积分等于这两个函数的不定积分的和（差）,即（3.1）性质2求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即（3.2）例3.5求积分解先将展开,然后再利用积分公式及运算法则,得例3.6求积分解例3.7求积分解例3.8求积分解将被积函数拆成两项的和,可得例3.9求积分解分子部分减1加1后,得例3.10求积分解利用三角公式得例3.11求积分解利用半角公式得例3.12求积分解由三角公式得例
4、3.13求积分解由倍角公式得例3.14设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜解设此曲线的方程为由题设得关系即,是的一个原函数,因且曲率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程.线过(1,2),代入曲线方程得故所求曲线的方程为对本例说明:函数的原函数的图形称为积分曲线.当常数取不同值时,曲线间是平行的.因而可通过某条积分曲线的平移得到所求曲线.例3.15以初速将质点铅直上抛,不计阻力,求其运动规律.解所谓运动规律,是指质点的位置关于时间的函数关系,为此建立坐标系统如下:把质点所在的铅直线取作轴,方向向上,轴与地面的交点取作坐标原点.开始时刻为此时质点所在的位置的坐标为在时刻
5、时质点的坐标为所求函数为设运动由导数的物理意义知道而在时刻时该质点的加速度为因此由此得由初始条件:再由得再由假设条件:所以运动规律为:
