《高数微分方程》PPT课件(I)

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1、第二节一阶微分方程§4.2.1解的存在性与唯一性定理1湘潭大学数学与计算科学学院定理对于微分方程和初始条件2湘潭大学数学与计算科学学院§4.2.2可分离变量的微分方程3湘潭大学数学与计算科学学院一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.解法为微分方程的解.分离变量法4湘潭大学数学与计算科学学院例1求解微分方程解分离变量两端积分二、典型例题5湘潭大学数学与计算科学学院通解为解6湘潭大学数学与计算科学学院解由题设条件衰变规律7湘潭大学数学与计算科学学院解例5某车间体积为12000立方米,开始时空气中含有的,为了降低车间内空气中的含量,用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通

2、入含的的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分钟后,车间内的百分比降低到多少?设鼓风机开动后时刻的含量为在内,的通入量的排出量8湘潭大学数学与计算科学学院的通入量的排出量的改变量6分钟后,车间内的百分比降低到9湘潭大学数学与计算科学学院三、可化为可分离变量的微分方程两端分别积分，得10湘潭大学数学与计算科学学院利用变量代换求微分方程的解解代入原方程原方程的通解为11湘潭大学数学与计算科学学院2、齐次方程的微分方程称为齐次方程.（2）.解法作变量代换代入原式可分离变量的方程（1）.定义12湘潭大学数学与计算科学学院13湘潭大学数学与计算科学学院例1求

3、解微分方程微分方程的解为解14湘潭大学数学与计算科学学院例2求解微分方程解15湘潭大学数学与计算科学学院微分方程的解为16湘潭大学数学与计算科学学院例3抛物线的光学性质实例:车灯的反射镜面------旋转抛物面解如图17湘潭大学数学与计算科学学院得微分方程由夹角正切公式得18湘潭大学数学与计算科学学院分离变量积分得19湘潭大学数学与计算科学学院平方化简得抛物线20湘潭大学数学与计算科学学院(h,k为待二、可化为齐次方程的方程作变换原方程化为令,解出h,k(齐次方程)定常数),机动目录上页下页返回结束21湘潭大学数学与计算科学学院求出其解后,即得原方程的解.原方程可化为令(可

4、分离变量方程)注:上述方法可适用于下述更一般的方程机动目录上页下页返回结束22湘潭大学数学与计算科学学院例4.求解解:令得再令Y＝Xu,得令积分得代回原变量,得原方程的通解:机动目录上页下页返回结束23湘潭大学数学与计算科学学院得C=1,故所求特解为思考:若方程改为如何求解?提示:第四节目录上页下页返回结束24湘潭大学数学与计算科学学院分离变量法步骤:1、分离变量;2、两端积分-------隐式通解.三、小结P2631,2题的奇数25湘潭大学数学与计算科学学院齐次方程齐次方程的解法可化为齐次方程的方程26湘潭大学数学与计算科学学院思考题解答方程两边同时对求导:原方程是齐次方

5、程.27湘潭大学数学与计算科学学院思考题方程是否为齐次方程?28湘潭大学数学与计算科学学院练习题29湘潭大学数学与计算科学学院练习题答案30湘潭大学数学与计算科学学院思考题求解微分方程31湘潭大学数学与计算科学学院思考题解答为所求解.32湘潭大学数学与计算科学学院练习题33湘潭大学数学与计算科学学院34湘潭大学数学与计算科学学院练习题答案35湘潭大学数学与计算科学学院