《高数微分方程应用》PPT课件

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1、§7.2几种常见的一阶微分方程一阶微分方程的一般形式为1.可分离变量的微分方程:当时,两边积分得即为方程的通解.(为任意常数)(如果存在一点使则称为方程的奇解.)(其中分别是的连续函数)定义:把形如为可分离变量微分方程.1例7.2.1求微分方程的通解解:分离变量两边积分得所以例7.2.2求初值问题的特解.解:将已给方程分离变量两边积分得将代入得所以特解为2补充例题:1.解:当时,是方程的解.是奇解当时,分离变量两边积分得32.在化学动力学中,用单位时间内反应物浓度的减少量或反应生成物的增加量表示反应速度,若反应速度与当时反应物的浓度成正比,则称为一级反应.设在时刻反应物的

2、浓度为,初始浓度为,求反应物浓度随时间的变化规律.解:依题意列出微分方程分离变量得通解当时,初始浓度为得时间为半衰期.42.齐次微分方程:方程的解法:通常是通过变换,把齐次方程化为可分离变量微分方程,求解.是的连续函数()定义:形如的微分方程称为齐次方程.┄(7.2.2)令代入(7.2.2)式得分离变量积分得5例7.2.3解方程解:原方程可写为设两端积分令得或6解:令得两边积分得所以通解为例7.2.4求方程的解7定义:形如的方程称为一阶线性微分方程.当时,称为一阶线性齐次方程.当时,称为一阶线性非齐次方程.一阶线性齐次微分方程的通解:分离变量两边积分所以通解为(为任意常数

3、)3.一阶线性微分方程8积分得是的一个函数,所以令其等于则非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解:在的两边同时除以得9“常数变易法”通常把齐次方程通解中任意常数变易为待定函数的求解方法,称为常数变易法.求设是方程的解─①10代入①式得所以非齐次方程的通解为11例7.2.5解方程解法1:“用常数变易法”先解对应的齐次方程齐次方程的通解:代入方程得用常数变易法设或所以原方程的通解为12解法2:通解为13例7.2.6求的通解(以为未知函数的一阶线性非齐次方程.)方程的通解为解:14伯努利方程的解法:将方程的两边同除以得令则4.伯努利方程定义:形如的方程称为伯努利方程

4、.其中为常数.当时,为可分离变量微分方程.当时,为一阶线性非齐次微分方程.15代入方程得是以为未知函数的一阶线性非齐次微分方程.代入通解即可.16例7.2.7求方程的通解.解:方程两边同除以得令代入上式得方程的通解为原方程的通解为17例题:一容器内盛有清水90升,现将每升含盐量为4克的盐水以每分钟6升的速率注入容器,不断搅拌使混合液迅速均匀，并以没分钟３升的速率流出容器，问在时刻容器的含盐量是多少？解：设在时刻，容器内含盐量为，在时间内盐的改变量）（相应设注入与流出的盐的量分别为平均变化率当时时刻的瞬时改变速度升分18即：容器内某个量的变化率＝注入量的变化率－流出量的变化

5、率整理得代入通解公式求解.19一室模型：把机体当着一个动力学上的同质单元，使用于给药后，药物瞬即分布到血液及其他组织中，并达到动态平衡．表室的容积，通常称为药物的表面分布容积．为时间时体内的药量入出分别表示药物给药和消除速率．药物动力学室模型:为了揭示药物在体内的动力学规律，便于用数学方法处理，在药物吸收，分布代谢动力学中，广泛采用简化的室模型来研究药物在体内的和排泄的时间过程.给药消除出入20一室模型的一般动力学方程为＝入－出①通常假定消除是一级速率过程，即出②其中为一级速率常数.将②代入①有机体内药量的变化规律由给药速率入而定.＝入③单位时间内室中药物的变化率等于输入

6、与输出之差．21按三种给药途径建立相应的一室模型快速静脉滴注在快速静脉注射情况下,可以认为一个剂量是瞬时输入到房室内的,没有吸收过程,因为入=0,这时体内药量减少的速度与当时体内药量成正比,初始条件为.所以由③式得解之，并代入初始条件，得④描述了快速静脉注射后，机体内的药量随时间的变化规律.因为血药浓度由方程④两边同除得血药浓度随时间的变化规律,即22其中表示初始(时)血药浓度.恒速静脉滴注以恒定速率作静脉给药时,入初始条件为,所以由③式得,解方程得两边同除以得血药浓度随时间的变化规律为口服或肌肉注射在这种给药情况下,大多数药物输入室内(吸收入血)的过程可作为一级过程处理

7、,有23入其中表示在时刻“吸收部位”的药量，为一级吸收速率常数.为所给剂量中可吸收的分数(),称为生物利用度.此时方程③为解之,得满足初始条件的解为两边同除以得血药浓度随时间的变化规律为⑤24图形为求最大血药浓度(峰浓度)及其到达的时间达峰时).由⑤式得令得代入⑤得(曲线)称为25由于,此时,代入化简得在药物动力学中,曲线下的总面积(AUC)有重要作用,这是由于在一定条件下,(AUC)能反映药物最终吸收的程度.由⑤式可计算得显然,在一定剂量,与吸收分数成正比.26关于肿瘤生长的几个常见数学模型肿瘤的生长模型是指描述肿瘤大小(体