《高等数学微分方程》PPT课件

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1、1一阶微分方程的习题课(一)一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题解法及应用第十二章2一、一阶微分方程求解1.一阶标准类型方程求解关键:辨别方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解(1)变量代换法(2)积分因子法四个标准类型:可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程3例1.求下列方程的通解提示:(1)故为分离变量方程:通解4方程两边同除以x即为齐次方程,令y=ux,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.化为5方法1这是一个齐次方程.方法2化为微分形式故这是一个全微分方程.6例2.求下列方程的通解:提示:(1)令u=xy,得(2

2、)将方程改写为(贝努里方程)(分离变量方程)原方程化为7例3.设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(－∞,+∞)内满足以下条件:(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(03考研)(2)求出F(x)的表达式.解:(1)所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:8(2)由一阶线性微分方程解的公式得于是9二、微分方程的应用1.建立数学模型—列微分方程问题建立微分方程(共性)利用物理规律利用几何关系确定定解条件(个性)初始条件边界条件2.解微分方程问题3.分析解所包含的实际意义10思考:能否根据草图列方程?例4.已知某曲线经过点(1,1),轴上的截距等于切点的

3、横坐标,求它的方程.提示:设曲线上的动点为M(x,y),令X=0,得截距由题意知微分方程为即定解条件为此点处切线方程为它的切线在纵11二阶微分方程的习题课(二)二、微分方程的应用解法及应用一、两类二阶微分方程的解法第十二章12一、高阶微分方程的解法1.可降阶微分方程的解法—降阶法令令逐次积分求解13例1求微分方程的通解提示:令则方程变为14例2求解提示:令则方程变为积分得利用再解并利用定常数152.二阶线性常系数微分方程的解法常系数情形齐次非齐次特征根法待定系数法16175.求以为通解的微分方程.提示:由通解式可知特征方程的根为故特征方程为因此微分方程为18特征根:例1.解

4、初值问题提示:故通解为设特解:代入方程定A,B,得得19例2.且满足方程提示:则问题化为解初值问题:最后求得20特征根:齐次方程通解:令非齐次方程特解为代入方程可得思考若(7)中非齐次项改为提示:原方程通解为特解设法有何变化?21例4.求质点的运动规上的力F所作的功与经过的时间t成正比(比例系数提示:两边对s求导得:牛顿第二定律…为k),已知一质量为m的质点作直线运动,作用在质点二、微分方程的应用22有特而对应齐次方程有解微分方程的通解.解:故所给二阶非齐次方程为方程化为一阶线性非齐次方程1.设二阶非齐次方程补充题23故再积分得通解复习:一阶线性微分方程通解公式24解代入原

5、方程原方程的通解为