高等数学之微分方程课件.ppt

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1、《高等数学》教学课件第八章微分方程精品课程序言第1章函数第2章导数第3章定积分第4章求导方法第5章导数应用第6章求积分方法第7章定积分应用第8章微分方程内容导航什么是微分方程分离变量法微分方程的应用（1）二阶常系数线性微分方程数学建模：微分方程应用（2）8-1什么是微分方程精品课程序言第1章函数第2章导数第3章定积分第4章求导方法第5章导数应用第6章求积分方法第7章定积分应用第8章微分方程引例1：曲线过点（1，2），且在该曲线上任意一点M(x,y)处的切线的斜率为2x，求这曲线的方程?解设所求曲线y=f(x)，根据导数的几何意义得（1）此外还应满足条件把方程（1）两边积分，得即把条件代入

2、（2），得C=1把C=1代入（2）式，即得所求曲线方程8-1什么是微分方程精品课程序言第1章函数第2章导数第3章定积分第4章求导方法第5章导数应用第6章求积分方法第7章定积分应用第8章微分方程引例2：质量为M的物体，受重力作用自由下降，试求物体下落的运动规律?解设所求运动规律为s=s(t)，根据导数的力学意义，未知函数s=s(t)应满足方程(4)由于自由落体的初始位置和初始速度均为零，未知函数s=s(t)满足条件把方程（4）两边积分，得(5)再积分一次，得(6)其中都是任意常数.将条件分别代入（5）、（6）内，得于是所求的运动规律为8-1什么是微分方程精品课程序言第1章函数第2章导数第3

3、章定积分第4章求导方法第5章导数应用第6章求积分方法第7章定积分应用第8章微分方程5、特解通常可以按照问题的条件从通解中确定任意常数的特定值而得到，用来确定特解的条件，称为初始条件1、含有未知函数的导数(或微分)的方程叫做微分方程相关概念2、微分方程中所出现的未知函数最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶3、如果把某个函数代入微分方程，能使方程恒等，这个方程称为微分方程的解；求微分方程的解的过程，叫做解微分方程4、微分方程的解有不同的形式，常用的两种形式是：一种是解中含有任意常数并且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解；另一种是解不含任意常数，称为特解8-2可

4、分离变量法精品课程序言第1章函数第2章导数第3章定积分第4章求导方法第5章导数应用第6章求积分方法第7章定积分应用第8章微分方程解简单微分方程常用的方法：将方程进行变形，然后等式两边进行积分。例：求解一阶微分方程解变形为然后两边积分，得于是即，其中C为任意常数，可以验证，函数是方程的通解。8-2可分离变量法精品课程序言第1章函数第2章导数第3章定积分第4章求导方法第5章导数应用第6章求积分方法第7章定积分应用第8章微分方程一般地，形如的微分方程称为可分离变量的微分方程。求解基本方法是：先变形、后积分。8-2可分离变量法精品课程序言第1章函数第2章导数第3章定积分第4章求导方法第5章导数应

5、用第6章求积分方法第7章定积分应用第8章微分方程例3求微分方程的通解解原方程可改写为分离变量，得两边积分，得于是即，这就是所求的微分方程的通解。8-2可分离变量法精品课程序言第1章函数第2章导数第3章定积分第4章求导方法第5章导数应用第6章求积分方法第7章定积分应用第8章微分方程例4求方程满足初始条件的特解解原方程可改写为分离变量，得两边积分，得化简，得令于是这就是所求的微分方程的通解。把初始条件代入上式，求得C=11，于是所求微分方程的特解为。8-3微分方程应用（1）精品课程序言第1章函数第2章导数第3章定积分第4章求导方法第5章导数应用第6章求积分方法第7章定积分应用第8章微分方程增

6、长与衰减用分离变量法解实际中经常出现的方程分离变量，得两边积分，得即其中，于是系数A为正值，所以所以，微分方程总是联系于指数增长或指数衰减。8-3微分方程应用（1）精品课程序言第1章函数第2章导数第3章定积分第4章求导方法第5章导数应用第6章求积分方法第7章定积分应用第8章微分方程例5当一次谋杀发生后，尸体温度从原来的370C，按照牛顿冷却定律（一块热的物体其温度下降的速度是与其自身温度同外界温度的差值成正比的关系），开始变凉，假设两小时后尸体温度变为350C，并且假定周围空气的温度保持200C不变（1）求出自打谋杀发生后尸体温度是如何作为时间的函数而变化的；（2）画出温度—时间曲线；（

7、3）最终尸体的温度将如何？用图像和代数两种方式表示出最终结果；（4）如果尸体被发现时的温度为300C，时间为下午4点整，那么谋杀时何时发生的？8-3微分方程应用（1）精品课程序言第1章函数第2章导数第3章定积分第4章求导方法第5章导数应用第6章求积分方法第7章定积分应用第8章微分方程解（1）按冷却定律建立方程温度变化率=a×温度差=a(H-20),其中a为比例常数，H为尸体温度于是考虑a的正负号，如果温度差是正的（即H>20）、则是