不定积分的基本积分法

《不定积分的基本积分法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第六章积分法§6.1不定积分的基本积分法定积分计算归结为原函数计算归结为不定积分的计算问题:不定积分如何计算?10不定积分的运算性质性质(线性运算性质)不定积分运算是线性运算,即有利用基本不定积分公式计算不定积分基本思想:利用不定积分的运算性质,将问题分解为一些可利用基本积分公式计算的问题例求解由于原积分例计算解原积分20凑微分法复合函数微分法:如果将此微分式两边进行不定积分得则有所以有以下不定积分的凑微分公式:(1)说明:(1)公式(1)的意义在于通过凑微分把计算的问题转化为积分的计算(2)公式(1)也称为不定

2、积分的第一换元法例计算解例计算解例计算解例计算解原积分例计算解例计算解例计算解原积分例计算解原积分例计算解原积分简单三角函数的积分法例计算解例计算解原积分一般地可计算:同理可计算积分:解例计算一般地,反复利用半角公式可计算:例计算解原积分解例计算原积分同样方法可计算积分:型积分的计算方法:(1)判别式的情形此时(2)判别式的情形(3)判别式的情形此时综上所述可知:形如的积分总可按上述方法计算例计算解因为设例计算解此时判别式<030不定积分的换元法凑微分法(第一换元法)(3)将上式反过来写(4)这就是不定积分的换

3、元法(第二换元法)定理(不定积分的第二换元法)说明:设f(x),均连续,且反函数存在且连续,若已知则(4)换元法(4)把积分的计算转化为与换元法(3)不同的是，换元法(4)中的x=(t)具有更大地灵活性积分的计算.例计算解例计算解令则由于所以有例计算解原积分令原积分由于例计算解注意到又所以例计算解令(倒数变换),例计算解令,40分部积分法在微分公式两边积分有即(2)式(2)称为不定积分的分部积分公式说明:分部积分公式的意义在于把积分的计算问题转化为积分的计算问题例计算解例计算解解例计算例计算解原积分所以有例计算

4、解原积分例计算解原积分例计算解说明:此例表明:通过分部积分有时可获得所求积分满足的方程,解此方程求得积分例计算解所以有即例计算解所以有又故可根据上式推得说明:此例表明:通过分部积分有时可获得递推式,通过递推式获得解50有理函数积分法如果mn,则(r(x)为多项式)其中分别为m,n次实系数多项式有理函数:当m

5、知:计算将面临以下四种类型的积分:(1)(2)(3)(4)由于凑微分求解递推公式求解例计算解先进行部分分式分解,设比较等式两边有解得:所以有例计算解由于所以60可化为有理函数的积分(1)三角有理函数的积分对于三角有理式因为即令(万能变换)之后,总可将积分化为有理函数的积分例计算解令，则有例计算解(2)形如积分的计算令,则这是一有理函数的积分问题例计算解令,原积分(3)其它的例子例计算解令原积分例计算解原积分例计算解原积分令