不定积分的换元积分法(III)

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1、二、第二类换元法第二节一、第一类换元法下页返回结束换元积分法第四章一、第一类换元法定理1.则有换元公式(也称配元法,凑微分法)上页下页返回结束补例求解（一）解（二）解（三）上页下页返回结束补例.求解:令则故原式=注:当时上页下页返回结束常用的几种配元形式:上页下页返回结束例5.求解:类似上页下页返回结束例10求解上页下页返回结束补例求解上页下页返回结束例6.求解:想到公式上页下页返回结束补例求解上页下页返回结束例9.求解:∴原式=上页下页返回结束例8.求想到解:上页下页返回结束补例.求解:解:令则故原式=补例求解：原式上页下页返回结束补例.求解:原式=上页下页返回结

2、束例11.求解:原式=例18.求解:原式=上页下页返回结束补例.求解法1解法2两法结果一样上页下页返回结束例16求解（一）（使用了三角函数恒等变形）上页下页返回结束解（二）上页下页返回结束例17.求解法1上页下页返回结束解法2上页下页返回结束同样可证或(P196例16)例14.求解:上页下页返回结束例15.求解:上页下页返回结束例13求解说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.上页下页返回结束例20求解上页下页返回结束思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?上页下页返回结束2.求提示:法1法2上页下页返回结束补例.求解:上页下页返回结束例21.求二、第二

3、类换元法第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，上页下页返回结束定理2.设是单调可导函数,且具有原函数,证:令则则有换元公式上页下页返回结束例21.求解:令则∴原式上页下页返回结束例22.求解:令则∴原式上页下页返回结束例23.求解:令则∴原式上页下页返回结束令于是上页下页返回结束积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.说明补例求（三角代换很繁琐）令解上页下页返回结束补例求解令上页下页返回结束说明当分母的阶较高时,可采用倒代换补例求令解上页下页返回结束补例.求解:令则原式上页下页返

4、回结束说明当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中为各根指数的最小公倍数）补例求解令上页下页返回结束上页下页返回结束小结:1.第二类换元法常见类型:令令令或令令第四节讲上页下页返回结束(6)分母中因子次数较高时,可试用倒代换常用基本积分公式的补充(P203)上页下页返回结束上页下页返回结束解:原式(P203公式(20))例25.求例26.求解:(P203公式(23))上页下页返回结束例27.求解:原式=(P203公式(22))补例.求解:原式(P203公式(22))上页下页返回结束练习题1.求下列积分:上页下页返回结束2.求不定积分解：利用凑微分法,原式

5、=令得上页下页返回结束3求解法一：上页下页返回结束3求解法二：上页下页返回结束令4求解上页下页返回结束5求解上页下页返回结束第二类换元法第一类换元法基本思路上页下页返回结束