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1、第四章中值定理及导数应用典型例题解答一、填空题π5例1函数y=lnsinx在[，π]上满足罗尔定理的ξ=()。66ππ15π解设f(x)=lnsinx，则(f)=lnsin=ln=(f),f′(x)=cotx，6626π5π由f′(ξ)=0，得cotξ=0，又ξ∈(，π)，所以ξ=。662例2函数y=ln(1+x)在[0，1]上满足拉格朗日定理的ξ=()。1)1(f−)0(f解设f(x)=ln(1+x)，则f(0)=0，f(1)=ln2，f′(x)=，由f′(ξ)=,1+x1−0得1，即ξ=1−1。=ln21+ξln22ln(1+x)例3lim=（）2x→+
2、∞x∞解该式为“”型未定式，满足洛必达法则，于是∞2ln(1+x)1lim=lim=022x→+∞xx→+∞1+x21−cosx例4lim=()3x→0xsinx21434解法一因x→0时，1−cosx~x,xsinx~x,214x21故原式=lim=。4x→0x20解法二此式为“”型未定型，由洛必达法则得：02sinx2xsinx221x原式=lim=lim=x→0x32sinx+x3cosxx→0sinx23+cosxx2例5设函数y=ln(x+x+)1，则在其定义域(-∞，+∞)内是严格单调（）21解因y′=[ln(x+x+])1′=>0；2x+1故函
3、数y在其定义域(-∞，+∞)内严格单调增加。132例6函数)x(f=x−3x+9x在[0，4]上的最大值点为（），最小值为3()。22解因f′(x)=x-6x+9=(x-3)≥0故函数f(x)在[0，4]内严格单调增加，故x=4为f(x)的最大值点为x=4，且f(x)在x=0点取得最小值f(0)=0。2例7函数f(x)=2x+ax+3在点x=1处取得极小值，则a=()。解此题属极值的逆向问题。因f′(x)=4x+a，且f(x)在x=1处取得极小值，故f′(1)=0，即4+a=0；所以a=-4。-x例8函数y=xe的拐点是()。-x-x解因y′=(1-x)e，
4、y″=(x-2)e；令y″=0得x=2，且当x<2时y″<0；x>2时，y″>-2-20，又f(2)=2e，故拐点为（2，2e）二、选择题例9在[-1，1]上满足罗尔中值定理的所有条件的函数f(x)=（）2(A)1/x(B)
5、x
6、(C)x–1(D)x+1解罗尔中值定理有三个条件：（1）函数y=f(x)在[a,b]上连续；（2）在（a,b）内可导；（3）f(a)=f(b)。1对A，)x(f=在x=0不连续。x⎧−xx<0对B，)x(f=
7、x
8、=⎨，f′-)0(=−1，f′+)0(=1，即f′)x(不存在。⎩xx≥02对C，f)x(=x−1，在[-1，1]连续，
9、f′)x(=−2x在（-1，1）内可导；f(-1)=f(1)=0，故f(x)满足罗尔中值定理的三个条件，应选C。对D，f(x)=x+1，f(-1)=0，f(1)=2，f(-1)≠f(1)，不满足第三个条件。例10在[1，e]上满足拉格朗日中值定理条件的函数f(x)=（）。1(A)ln(x-1)(B)lnx(C)(D)lnlnxlnx解当x=1时，函数ln(x-1)无定义，ln(x-1)在[1，e]不连续，故不选A。对B，f(x)=lnx在[1，e]连续，在（1，e）内可导，故y=lnx在[1，e]上满足拉格朗日中值定理的条件，应选B。1对C，在x=1处无定义
10、，故在[1，e]不连续。lnx对D，lnlnx在x=1处无定义，故在[1，e]不连续。1例11设y=在[1，2]满足拉格朗日中值定理的条件，则定理中的ξ=()。232(A)(B)3(C)2(D)22111解因f′)x(=−，f′(ξ)=−，又a=1，b=2，f(a)=1，)b(f=−，故22xξ21−11)b(f−)a(f21f′(ξ)=−===−，于是ξ=±2。但−2∉)2,1(，故ξ=2，2ξb−a2−12应选C。例12设函数f(x)在区间[0，1]上可导，f′)x(>0，并且f(0)<0，f(1)>0，则f(x)在[0，1]内（）。(A)至少有四个零点
11、(B)有且仅有一个零点(C)没有零点(D)零点个数不能确定解因为f(0)<0，f(1)>0，故f(x)在[0，1]至少有一个根。又f′)x(>0，则f(x)在[0，1]内严格单调增加，但f(0)与f(1)异号，于是f(x)只过x轴一次，故f(x)在[0，1]内有且仅有一个零点，故选B。4例13函数y=x+的单调较少区间是（）。x(A)(−∞,−2),,2(+∞)(B)（-2，2）(C)(−∞0,),,0(+∞)(D)（-2，0），（0，-2）44解由y=x+，定义域是(−∞)0,U,0(+∞)，y′=1−，令y′=0，得x=±2。2xx故函数的单调减少区间是
12、（-2，0），（0，2），选D。12例14设)x(f
