大学重高数积分吐血推荐

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1、标准文档第九章重积分§1、二重积分的概念一．重积分的概念1．引例与定义⑴曲顶柱体的体积问题设函数，当时，，且在上连续。由曲面、平面的区域、母线平行于轴的柱面所围成的空间区域称为曲顶柱体，或称为以曲面为顶，以平面区域为底，母线平行于轴的曲顶柱体。已知：平顶柱体的体积=底面积ⅹ高①分割：用平面曲线网将区域分割为，，...，，...，相应地将曲顶柱体分割为个小的曲顶柱体：，，...，，...，其中表示第个小曲顶柱体、也表示该柱体的体积，则：；②求的近似值：，（）；故③求的精确值：记{所有的直径}，则，；⑵平面薄板的质量问题设平面薄板占有平面上的区域，密度函数为，当时，且在

2、上连续。同理可得，质量计算公式：；定义1、设函数是有界闭域上的有界函数。将任意分割成个小的区域：、、...、，（既表示第个小区域也表示小区域的面积）；任取，，作和：；记{的直径}，若极限实用文案标准文档存在，称极限值为函数在区域上的二重积分，记作：其中~~被积函数，~~积分区域，~~面积微元，~~积分变量，~~被积表达式，积分和。注：①相应于积分和中的，故；②如果已知二重积分存在，特别：⑴用直角坐标系中的直线网即平行于坐标轴的直线网分割区域，除去边沿部分外，有，则即：~~~~在直角坐标系下的二重积分⑵用极坐标系中的曲线网即以坐标原点为中心的圆弧、从坐标原点发出的半射

3、线分割区域，除去边沿部分外，有，则利用直角坐标与极坐标的关系，，~~~极坐标系下的二重积分2．二重积分的几何意义⑴当的几何意义表示以区域为底，以曲面为顶，母线平行于轴的曲顶柱体体积（位于上方）；⑵若，积分值等于区域的面积。实用文案标准文档注：①时，的几何意义表示以区域为底，以曲面为顶，母线平行于轴的曲顶柱体的体积；②若积分区域关于轴对称，是位于轴上侧的一半区域，则③设积分区域关于轴对称，是位于轴右侧的一半区域，则问题：考虑如果积分区域关于坐标原点对称或关于直线对称时，被积函数满足什么条件积分具有类似上面的性质？？？例1．根据二重积分的几何意义，指出下列积分值，其中，

4、；，，。解：的面积上半球体体积四面体的体积例2．指出下列积分值，，其中：。解：被积函数，，根据二重积分的几何意义，积分值等于以曲面为顶，以：为底的曲顶柱体的体积，即等于底半径为2，高为2例3．指出下列积分值，其中其中：解：实用文案标准文档二．二重积分的性质可以证明，连续的函数一定可积，以下总假设重积分存在。性质1、，为非零常数；性质2、；性质3、若，且（除边沿部分外），则性质4、若，，则：；表明，当积分区域相同时，被积函数越大，则积分值越大，可以依据此性质比较两个积分值的大小。特例：⑴若，，则；⑵其中⑵几何意义在于：左端~体积的代数和，右端~体积。性质5、（估值定理

5、）若，，则（是的面积）注：利用此性质可以估计积分值的范围。性质6、（中值定理）若在有界闭区域上连续，则存在，使得：（是的面积）因为在有界闭区域上连续，则在上可以取得最大、最小值与，即，；根据性质4，即，或，由闭区域上连续函数的性质，存在，使得，即：。例4．比较积分与的大小，由围成的圆域。解：当时，总有，故，。实用文案标准文档例5．试估计二重积分值，其中是矩形区域：，。解：，则当时，，，故：；且，则（例4图）（例5图）实用文案标准文档§2、二重积分的计算一．在直角坐标系下1．平面上的简单区域及其不等式表示：型与型型：型：：：例1．将下列平面区域用不等式表示解：⑴，：；

6、⑵　：；　　　　：；⑶　：及；　：。2．在直角坐标系下二重积分的计算例1．计算曲顶柱体的体积，。解：设曲顶柱体的底为平面上的区域，顶为曲面；设区域为型区域且：；，过点作垂直于轴的平面，平面与曲顶柱体有一截面，设截面面积为，则为：；由的任意性，有，截面面积为：；实用文案标准文档根据平行截面面积已知立体体积的计算公式，曲顶柱体的体积为从而，~~~二次积分（累次积分）注：①对于一般的二重积分，若其积分区域为型区域，即：，则也有：；为了书写方便，二次积分常写为：②同理，若积分区域为型区域，即：，则有：③如果积分区域不是简单区域，则应当适当划分为简单区域再逐个积分。例2．计算

7、二重积分，其中积分区域为矩形：。解：根据上面的讨论，视为型区域，：，则特例：若积分区域为矩形区域：，被积函数恰好可以写为，则。例3．计算积分，其中由曲线与围成。解：⑴视为型域，则：；实用文案标准文档⑵视为型域，则：及例4．计算积分，由与围成。解：：，则：，则例5．计算积分，由、及轴围成。解：视为型域，：，则若视为型域，：，则~~~~此积分无法用牛顿~莱布尼兹公式计算注：以上例题表明，在直角坐标系下计算二重积分时，应注意积分顺序的选择，二重积分计算的关键是转化为二次积分。实用文案标准文档例6．将二重积分化为直角坐标系下的两种不同顺序的二次积分，其中由直线、及围成。