中山大学-流体力学课程-课件(精华

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1、第六章理想不可压缩流体的运动根据理想流体的运动学特性，可以将理想流体的运动分为无旋运动和有旋运动两大类。本章将在介绍二维运动引入流函数的概念，介绍无旋运动时引入势函数的概念，流函数和势函数是描述流体行为的重要概念。求解流体无旋运动问题，一般通过解运动学方程（连续性方程）和动力学方程（运动方程），确定流场的速度分布和压力分布。第六章理想不可压缩流体的运动§6.1理想不可压缩流体运动基本方程§6.2二维无旋运动§6.3基本无旋流§6.5有旋运动§6.4理想流体绕圆柱的流动连续性方程——质量守恒定律对流体运动的一个基本约束用欧拉

2、观点对质量守恒原理的描述：连续介质的运动必须维持质点的连续性，即质点间不能发生空隙。因此，净流入控制体的流体质量必等于控制体内因流体密度变化而增加的质量。§6.1理想不可压缩流体运动基本方程连续性方程xyzodxdydzuzabcda’b’c’d’在时间段dt里，沿着y方向和z方向净流入左右和上下两对表面的流体质量分别为和uy三维流动的连续性微分方程在时间段dt里，微元内流体质量的增加根据质量守恒原理简化或写成对于不可压缩流体的流动，密度是常数，连续方程为恒定流动的连续方程速度场的散度流体微团在三个互相垂直方向上的线变形速

3、率之和，也是流体微团的体积膨胀率。连续性方程在球坐标中的形式为连续性方程在柱坐标中的形式为连续方程表明不可压缩流体微团在三个互相垂直方向上的线变形速率的总和必为零，若在一个方向上有拉伸，则必有另一个方向上的压缩，在运动过程中其体积不会发生变化。欧拉方程作用于运动流体上的力分为两类，一类是作用于整个流体体积上的力，称为彻体力，另一类是作用于流体表面上的力，称为表面力。在理想不可压缩流体运动中，微元体上的作用力之和等于微元体质量与其运动加速度的乘积。欧拉方程球坐标形式的欧拉方程柱坐标形式的欧拉方程如果不可压缩流体做定常运动，且

4、彻体力有势W，即则欧拉方程沿流线s的积分得到伯努利方程流体做无旋流动时，欧拉方程积分可得理想不可压缩流体基本方程组将不可压缩流体的连续性方程和运动方程组合在一起，得到理想不可压缩流体的运动方程组，即初始条件是t=t0时边界条件为方程组仍然是非线性的，速度u和压力p互相影响，求解方程相当困难。如果运动无旋，方程组可以得到重大简化。理想不可压缩流体无旋流动基本方程组若流体作无旋运动，存在速度势，使代入连续性方程上式是一个二阶线性偏微分方程，通常称为拉普拉斯方程。拉普拉斯方程的解具有可叠加性。如果流体理想不可压缩，重力有势，运动

5、无旋，由欧拉方程积分得到拉格朗日积分求出速度势后得到速度，代入拉格朗日积分求出压力分布p。理想不可压缩流体，重力有势，其基本方程组为初始条件是t=t0时边界条件为§6.2二维无旋运动真实流体是有粘性的流体，而粘性流体都是有旋的。在实际中，许多粘性流体的流动可以简化成理想的无旋运动。在数学上，处理无旋运动比有旋运动简单得多，可以通过求解线性运动方程决定速度分布，再由伯努利积分决定压力。流函数和速度势函数是求解二维无旋问题的重要数学工具。流函数的定义流体运动时各有关物理量在空间的分布仅依赖于两个坐标来确定二维运动如果流体质点的

6、运动速度都与已知的x-y平面平行，且所有平面上的流动情况都相同，则二维流动的流线方程为或连续性方程为或全微分条件必然存在一个函数，使流线是等流函数线，给予不同的常数可以得到一簇流线。通常将与流体接触的壁面视为零流线。这称为流函数，上式可得到流函数的定义式为当时，可得表示穿过M0至M连线的流量，它与连线路径无关，在起点M0确定的情况下是终点M的坐标的函数。根据定义确定流函数时选取不同的起点M0，流函数将相差一个常数，但同样不会影响对流场的描述。M0M对于不可压流体的平面流动是容易理解的，而三维流动就得不到这样的结论。两点流函

7、数的差表示穿过两点间任意连线的流量。（常数）不可压流体平面流动的流线方程表示有流量自M1M2连线左侧流进右侧，由此可确定流动方向。如图中所示,若M1M2画出穿过微元弧长的流量示意图，可以帮助记忆流函数定义。在直角坐标系中在极坐标系中流函数与流量的关系在流体作二维运动的流场中，用任意曲线将两点连接起来，某时刻通过该曲线上的微元线段dl的流量为un是微元线段上M点出的法向速度于是结合流函数的定义式可得上式表明单位时间内通过曲线微元上的流量等于流函数的微分。沿曲线积分，得到流经任意线段AB的流量可知，流经任意曲线AB的流量等于该

8、曲线两个端点上的流函数之差，与曲线的形状无关。流函数方程已知流函数可以求得任意二维流场的速度场，流体在x-y平面内作有旋运动，旋转角速度不为零，有将流函数的定义式代入上式，得流体在x-y平面内作无旋运动，旋转角速度为零，有流体二维流动引入流函数，可以通过改写方程减少未知量，使计算简便。因此广泛使用流函数