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1、【MeiWei_81重点借鉴文档】第一章函数、极限和连续§1.1函数一、主要内容㈠函数的概念1.函数的定义:R=f(R),R∈D定义域:D(f),值域:Z(f).2.分段函数:3.隐函数:F(R,R)=04.反函数:R=f(R)→R=φ(R)=f-1(R)R=f-1(R)定理:如果函数:R=f(R),D(f)=R,Z(f)=R是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：R=f-1(R),D(f-1)=R,Z(f-1)=R且也是严格单调增加(或减少)的。㈡函数的几何特性1.函数的单调性:R=f(R),R∈D,R1、R2∈D当R1＜R2时,若f(R1)≤f(R2),则称f(R)在D内
2、单调增加()；若f(R1)≥f(R2),则称f(R)在D内单调减少()；若f(R1)＜f(R2),则称f(R)在D内严格单调增加()；若f(R1)＞f(R2),则称f(R)在D内严格单调减少()。2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-R)=f(R)奇函数：f(-R)=-f(R)3.函数的周期性：周期函数：f(R+T)=f(R),R∈(-∞，+∞)周期：T——最小的正数4.函数的有界性：
3、f(R)
4、≤M,R∈(a,b)㈢基本初等函数1.常数函数：R=c，(c为常数)2.幂函数：R=Rn,(n为实数)3.指数函数：R=aR,(a＞0、a≠1)4.对数函数：R=logaR,(
5、a＞0、a≠1)5.三角函数：R=sinR,R=conRR=tanR,R=cotRR=secR,R=cscR6.反三角函数：R=arcsinR,R=arcconRR=arctanR,R=arccotR㈣复合函数和初等函数1.复合函数：R=f(u),u=φ(R)R=f[φ(R)],R∈R2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2极限【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】一、主要内容㈠极限的概念1.数列的极限:称数列以常数A为极限;或称数列收敛于A.定理:若的极限存在必定有界.2.
6、函数的极限：⑴当时，的极限：⑵当时，的极限：左极限：右极限：⑶函数极限存的充要条件：定理：㈡无穷大量和无穷小量1．无穷大量：称在该变化过程中为无穷大量。R再某个变化过程是指：2．无穷小量：【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】称在该变化过程中为无穷小量。1．无穷大量与无穷小量的关系：定理：2．无穷小量的比较：⑴若,则称β是比α较高阶的无穷小量；⑵若（c为常数），则称β与α同阶的无穷小量；⑶若，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α；⑷若,则称β是比α较低阶的无穷小量。定理：若：则：㈢两面夹定理1．数列极限存在的判定准则：设：（n=1、2、3…）且：则：
7、2．函数极限存在的判定准则：设：对于点R0的某个邻域内的一切点（点R0除外）有：【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】且：则：㈣极限的运算规则若：则：①②③推论：①②③㈤两个重要极限1．或2．§1.3连续一、主要内容㈠函数的连续性1.函数在处连续：在的邻域内有定义，1o2o【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】左连续：右连续：1.函数在处连续的必要条件：定理：在处连续在处极限存在2.函数在处连续的充要条件：定理：3.函数在上连续：在上每一点都连续。在端点和连续是指：左端点右连续；右端点左连续。a+0b-R4.函数的间断点：若
8、在处不连续，则为的间断点。间断点有三种情况：1o在处无定义；2o不存在；3o在处有定义，且存在，但。两类间断点的判断：1o第一类间断点：【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】特点：和都存在。可去间断点：存在，但，或在处无定义。2o第二类间断点：特点：和至少有一个为∞，或振荡不存在。无穷间断点：和至少有一个为∞㈡函数在处连续的性质1.连续函数的四则运算：设，1o2o3o2.复合函数的连续性：【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】则：1.反函数的连续性：㈢函数在上连续的性质1.最大值与最小值定理：在上连续在上一定存在最大值与最小
9、值。RR+MMf(R)f(R)0abRm-M0abR1.有界定理：在上连续在上一定有界。3.介值定理：在上连续在内至少存在一点，使得：，其中：RRMf(R)Cf(R)0aξbRm0aξ1ξ2bR推论：在上连续，且与异号在内至少存在一点，使得：。4.初等函数的连续性：初等函数在其定域区间内都是连续的。【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】第二章一元函数微分学§2.1导数与微分一、主要内容㈠导数的概念1．导数：在的某个邻域内有定义
