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1、第五节幂级数一幂级数及其收敛性二幂级数的运算及其性质2.收敛性:当时,收敛；当时,发散.例如级数收敛域发散域1.定义1形如的级数称为幂级数.当时,其中为幂级数系数.一幂级数及其收敛性定理1(阿贝尔Abel定理)如果级数在处收敛,则它在满足不等式的一切处绝对收敛；如果级数在处收敛,则它在满足不等式的一切处发散.证明收敛,使得当时,等比级数收敛,收敛,即级数收敛.几何意义收敛区域发散区域发散区域假设当时发散,而有一点适合使级数收敛.由(1)结论,则级数当时应收敛,这与所设矛盾.推论如果幂级数不是仅在一点收敛,也不是在
2、整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数存在,使得当时,幂级数绝对收敛；当时,幂级数发散；当与时,幂级数可能收敛也可能发散；问题如何求幂级数的收敛半径?定义2正数R称为幂级数的收敛半径.开区间(-R,R)称为幂级数的收敛区间.从而决定了收敛域为以下四个区间之一:规定收敛域(1)幂级数只在处收敛,收敛域(2)幂级数对一切都收敛,证明对级数应用达朗贝尔判别法()或定理2如果幂级数的所有系数,设(1)则当时,(2)则当时,(3)则当时,如果存在由比值审敛法,当时,级数收敛,从而级数绝对收敛.当时,级数发散,并且从某个
3、n开始从而级数发散,收敛半径定理证毕.从而级数绝对收敛.收敛半径如果有级数收敛,级数必发散.如果(否则由定理1知将有点使收敛)收敛半径解例1求下列幂级数的收敛区间:该级数发散；当时,级数为该级数收敛；当时,级数为故收敛域是故收敛域是级数只在处收敛.当即时,原级数收敛.例2求幂级数的收敛域.解级数缺少偶次幂的项,对级数用比值判别法当即时,原级数发散.当级数为,收敛.故原级数的收敛域为例3求幂级数的收敛域.解令,原级数化为当时,,级数发散,当时,,级数收敛,原级数的收敛域为的收敛域为1.代数运算性质(1)加（减）法(
4、其中设和的收敛半径分别为二幂级数的运算及其性质(2)乘法(其中注：相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多.(3)除法在收敛域内2.幂级数和函数的性质和求法:(2)幂级数的和函数在收敛区间内可积,且对可逐项积分.幂级数的和函数在收敛区间内连续,在端点收敛,则在单侧连续.收敛半径不变.即收敛半径不变.即(3)幂级数的和函数在收敛区间内可导,且对可逐项求导任意次.两边积分得例4求下列幂级数的和函数.解易求得的收敛域为设显然又时,收敛.即易求得的收敛域为两边从到积分,得设两边求导得易求得的收敛域为设两式相减,得解收
5、敛区间(-1,1),考虑级数故则例5求的和.例6求的收敛域及和函数.解易求得与的收敛域分别为收敛域为设则故原级数的和函数为
