人大微积分课件5-5广义积分

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1、一、无穷限的广义积分二、无界函数的广义积分第五节广义积分一、无穷限的广义积分两极限均存在称收敛，两极限至少有一个不存在称发散.上述各广义积分统称为无穷限的广义积分，简称无穷积分.2.说明（1）设，则这里A与B是相互独立的.（2）当为奇函数时,不能按积分区间关于原点对称的定积分处理为零。因为解.3.例题例1计算广义积分.这个广义积分值的几时，图5－7中阴影部其面积却有极限值1.分向左无限延伸，但何意义是,当图5－7解极限不存在是发散的例2计算广义积分.若认为积分区间关于原点对称，被积函数为奇函数，按定积分公式③计算就错了.例3计算广义积分.解先计算定积分则..即

2、二、无界函数的广义积分1.定义2设在上连续，在点的右邻域内无界,取，若存在，则称此极限为在上的广义积分，记作这时称广义积分收敛；若极限不存在，称广义积分发散.类似地，设在上连续，在点的左邻域内无界，取，若存在，则称此极限为在上的广义积分，记作，即.这时称广义积分收敛；若极限不存在，称广义积分发散.设在上除点外连续，在点的邻域内无界，若广义积分和广义积分都收敛，则称上述两广义积分之和为在上的广义积分，记为，即这时称广义积分收敛，若上述两极限至少有一个不存在，则称广义积分发散.2.说明（1）在定义2中在点的邻域内都无界，这些点均为的无界间断点，也称为的瑕点，故无界

3、函数的广义积分也称为瑕积分.（2）设，则当为的瑕点时，当为的瑕点时，,,当为的瑕点时(3)若积分区间是有限的，必须先考察是定积分还是瑕积分，如是瑕积分而按定积分计算就会出现错误，即使是按定积分求得的结果与按瑕积分求得的结果相同，前者的概念也是错误的.(4)若积分区间是无穷区间，被积函数是无界函数的广义积分，应把广义积分分拆成几项，使每项是单纯的无穷积分或瑕积分，再按各自的积分方法计算.3.例题例4计算广义积分.解，是瑕点，这个广义积分的几何意义是当时，图5－8中阴影部分趋近于的面积值.图5－8例5计算广义积分.解因为，所以是瑕点，而，所以发散..注：若按定积分

4、计算（不考虑是瑕点),就会导致以下的错误.例6考察广义积分的敛散性.解是瑕点，积分区间是无穷区间，先考察的敛散性.当时，当时，当时收敛，当时发散；再考察的敛散性.当时，当时，当时收敛，当时发散.则广义积分发散.