信号系统_傅里叶变换

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1、第三章傅里叶变换3.1引言3.2周期信号的傅里叶级数分析3.3典型周期信号的傅里叶级数3.4傅里叶变换3.5典型非周期信号的傅里叶变换3.6冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换3.7傅里叶变换的基本性质3.8卷积特性3.9周期信号的傅里叶变换3.10抽样信号的傅里叶变换3.11抽样定理3.1引言本章将以正弦信号和复指数信号为基本函数，任意信号将分解为一系列不同频率的正弦信号或复指数信号之和或积分。——由时域分析转入变换域（本章为频域）分析一、频域分析从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析

2、）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。二、主要内容本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用。对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。3.2周期信号的傅里叶级数分析一、三角

3、函数形式的傅里叶级数由积分可知1、三角函数集是一个完备的正交函数集t在一个周期内，n=0,1,...在满足狄利克雷条件时，可展成直流分量余弦分量的幅度正弦分量的幅度称为三角形式的傅里叶级数，其系数2、级数形式狄利克雷（Dirichlet）条件(3)在一周期内，信号绝对可积。(2)在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。(1)在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。<例1>求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。周期锯齿波的傅里叶级数展开式为t()tfA/221T21T-解：•余弦形式•正弦形式通常，把角频率为1的分量称为基波，角频率为21，31，…等分量

4、分别称为二次谐波、三次谐波……等。可画出频谱图。周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性。3、幅度频率特性和相位频率特性关系曲线称为幅度频谱图，简称幅度谱；关系曲线称为相位频谱图，简称相位谱。1ww13wnc0c1c3cO1w13wwpnjO幅度频谱相位频谱二、指数形式的傅里叶级数1、级数形式f(t)的指数形式傅里叶级数说明：2、幅度频率特性和相位频率特性相频特性幅频特性——复数频谱双边频谱n(-,)

5、Fn

6、~n~•当Fn为实数时，可用Fn的正负表示n的0、，因此常把幅度谱和相位谱合画在一张图上；•负频率的出现完全是数学运算的结果，并没有任何物理意义，只有将负频率项和相应的正

7、频率项成对合并起来，才是实际的频谱函数。则三角函数形式的傅里叶级数的谱系数三角函数形式的频谱图1ww1c0c2c12wO24.211nc12w25.015.0-O1wwnj<例2>解：（1）将f(t)化为余弦形式（2）将f(t)化为指数形式则指数形式的傅里叶级数的谱系数整理，得谱线指数形式的频谱图12w5.0O1ww1w-12.112w-12.15.01()1wnF12w25.015.0-O1ww1w-15.012w-25.0-nj三角形式与指数形式的频谱图对比三角函数形式的频谱图指数形式的频谱图1ww1c0c2c12wO24.211nc12w25.015.0-O1wwnj

8、12w5.0O1ww1w-12.112w-12.15.01()1wnF12w25.015.0-O1ww1w-15.012w-25.0-nj三、函数的对称性与傅里叶系数的关系信号波形相对于纵轴是对称的1、偶函数则)(tfLLOtTET-)(tfLLOtTT-11-2、奇函数则注：若在奇函数上加以直流成分，则它不再是奇函数，但在其级数中仍不会含有余弦项，而仅含正弦项和直流项。则f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即)(tfLLOtTT-2T若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化，则称奇谐函数。3、奇谐函数4、偶谐函数则f(t)的傅氏级数奇次谐波为零)(tfLL

9、Ot1T1T-21T-21T•一般函数可分解为奇函数和偶函数之和，则其分别展开成傅里叶级数再相加，有时可使运算过程简化；•在允许的情况下，可以移动函数的坐标使波形具有某种对称性，以简化运算。<例3>利用信号f(t)的对称性，定性判断图中各周期信号的傅里叶级数中所含的频率分量。(a)(b)(c)解：(a)(b)(c)周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和，即，时域和频域的能量是守恒的。四、周期信号的功率这