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1、一、函数的单调性ooabab从导数的几何意义考察函数的单调性：§3.函数的升降、凸性与极值Th.1（导数的正负与函数升降的关系）证明：由极限保号性、中值定理可证.Corollary（严格单调的充分条件）若f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，且不变号，则注1.Th.1表明，讨论可导函数的单调性，只须判别其导数的符号即可，其步骤是:⑴确定的定义域；⑵求，令求出分界点；⑶用分界点将定义域分成若干个开区间；⑷判别在每个开区间内的符号，即可确定的严格单调性（严格单调区间）.例1.讨论的上升、下降情况.解：该函数的定义域是R.由它们将R分成三个区间：xy
2、'+－+y例2.解：定义域是R.由现列表讨论如下：xy'+－++yTh.2（不等式定理）若f(x)与g(x)满足条件：(1)在[a,b]上可导;注2.利用函数的升降性及其导数之间的关系来证明不等式．yxMoaxbTh.2'若F(x)满足证明：例3.证明证明：从而得证.例4.证明：例5.证明方程证明：二、函数的极大值与极小值1.Def（局部极值）oabxy注3.函数的极值的局部性.定义中可以有结论oxyy=2xy=xTh.3（极值的必要条件）由此求出可能使f(x)取极值的点之后，如何判定它是取极大值还是极小值呢？图示可见,由导数符号可判定极大极小值点.
3、xyoyxoTh.4（极值判别法之一）⑴⑵⑶x－＋取局部极小值＋－取局部极大值＋＋不取局部极值－－不取局部极值证明：由函数的升降性及极值定义得到.列表如下：注4.Th.5（极值判别法之二）证明：由二阶导数定义及极限保号性、Th4得证.Th.5'(1)(2)定理5是定理5'的特殊情形.证明：根据Taylor公式,有例6.解：现列表讨论如下：x0y'+不存在－0+y例7.解：例8.解：三、函数的最大值和最小值如何求出函数在某区间上的最大值和最小值？yxaOb注1：函数在某一区间上的最大值和最小值,也叫全局极值.可导函数在[a,b]上的最大、最小值的求解步
4、骤：注2：例9.解：所以函数的最大值是0,最小值是－2.例10.某生产队要建造一个体积为50立方米的有盖圆柱形氨水池.问这个氨水池的高和底半径取多大时，用料最省？解：用料最省就是要求氨水池的表面积最小.设氨水池的底半径是r,高是h,它的表面积hrO用V＝50立方米代入，得到答：当圆柱形氨水池的高和直径相等时，用料最省。四、函数的凸性是描述函数性状的一个更深入的概念.例如：yxo上凸下凸几何角度：xyoxyo1.Def（函数的凸性）注：函数的凹凸性，下凸即是上凹.2.函数的凸性与其导数的关系Th.6⑴⑵证明：由Lagrange公式，得：Infact,其
5、中，⑵由⑴得上凸，故下凸.Def:若曲线在其上一点的一侧为上凸，另一侧为下凸，则称此点为曲线的拐点.xyoy=f(x)注：yxo⑴求；⑵令，求解，并划分f(x)的定义域为若干个开区间.⑶判别在每个开区间的符号.设,列表讨论如下：3.讨论f(x)的凸性及拐点的步骤x－（上凸）0＋（下凸）是拐点＋（下凸）0－（上凸）是拐点＋（下凸）0＋（下凸）不是－（上凸）0－（上凸）拐点注：对不存在的点亦可类似讨论.例1.讨论的凸性及拐点.解：xyo·1x0－0＋不存在＋y上凸拐点下凸非拐点下凸例2.解：其定义域是R.由xyo11-1-1x1－0＋0－y极小值－1极大
6、值1又列表如下：x0－0＋0－0＋上凸拐点下凸拐点上凸拐点下凸x01－－－0＋＋＋0－－－－0＋＋＋0－－－0＋上凸拐点下凸极小下凸拐点上凸极大上凸拐点下凸统一列表如下:4.曲线的渐近线xyo··双曲线的渐近线如何求之？曲线的渐近线有两种：垂直渐近线；斜渐近线（包括水平渐近线）yxoPKMDef:当曲线C上动点M沿着曲线C无限远移时，若动点M到某直线l的距离无限趋于零，则称直线l是曲线C的渐近线.(1)垂直渐近线例如：⑵斜渐近线如何求出渐近线呢？①因是常数，故②Prop:直线是曲线的斜渐近线a与b由③与④式分别确定.因此得从而由②得③④特别，当a=0
7、时，就是水平渐近线.即：直线是水平渐近线例3.解：由于故x=1为f(x)的垂直渐近线.又故故是渐近线.例4.求双曲线的渐近线.解：因函数在例5.①②③利用函数特性描绘函数图形,一般步骤：5.函数的图形(1)确定函数的定义域,讨论函数的奇偶性、对称性、周期性等性态;(2)求出使不存在的点,把函数的定义域划分成几个部分区间;(3)根据的符号,确定函数的上升或下降区间,图形的上凸或下凸区间,以及极值和拐点;可列表讨论;(4)确定函数图形的水平、垂直渐近线、斜渐近线;(5)描点作图.描出极值点、拐点,曲线与坐标轴的交点.例12.解：(3)列表讨论如下：表1.
8、函数的上升、下降和极值.表2.函数的上凸、下凸和拐点.x0(0,1)1y'＋不存在－0＋y无定义极小值0x0
