函数的凸性与拐点

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1、§5函数的凸性与拐点从两个熟悉的函数的图象来看凸性的不同：的上方(下方).返回如(1)和(2)式中的不等号改为严格不等号,则相应定义1设f为区间I上的函数．若对于I上的任意则称f为I上的一个凸函数.反之如果总有则称f为I上的一个凹函数.的函数称为严格凸函数和严格凹函数.很明显，若f(x)为(严格)的凸函数,那么–f(x)就引理f(x)为区间I上的凸函数的充要条件是：为(严格)凹函数，反之亦然.从而有因为f(x)为I上的凸函数，所以证（必要性）于是整理后即为(3)式.即由于必要性的证明是可逆的，从而得到（充分性）对于任意则所以f为I上的凸函数.同理可证f为I上的凸函数的

2、充要条件是：对于注(4)式与(1)式是等价的.所以有些课本将(4)式作为凸函数的定义.(参见下图)詹森(Jensen,J.L.1859-1925,丹麦)对于凹函数，请读者自行写出相应的定理.这是著名的詹森不等式.由数学归纳法不难证明：f为I上的凸函数充要(5)式是凸函数最常用的不等式.即：例1设f为开区间(a,b)上的凸函数,那么它在下面举例说明凸函数的内在性质.证上处处连续.(a,b)中每一点的左、右导数存在.特别是在(a,b)由引理得到这就证明了F(h)有下界.所以注开区间上的凸函数处处连续,但不一定处处可导;闭区间上的凸函数在端点不一定连续.定理6.13设f为区

3、间I上的可导函数,则下述注(iii)中的不等式表示切线恒在凸曲线的下方.论断互相等价：证我们在这里再一次强调，的切线位于曲线的下方.于相应曲线段的上方;而它义是:曲线y=f(x)的弦位函数f是凸函数的几何意点击上图动画演示证由定理6.13立即可得.定理6.14设f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)我们在定理中列出了凸函数的三个等价性质.对理.于凹函数也有类似的性质,请大家写出相应的定在区间I上是凸(凹)函数的充要条件为：解因为例2(本例说明：在凸(凹)函数的条件下，可微函数的极值点与稳定点是等价的.)例3设函数f(x)为(a,b)上的可导凸(凹)函数.证充分性是显然

4、的(费马定理).下面证明必要性.由定理6.13的(ii),是递增的.所以设f(x)是凸函数,x0是f(x)的稳定点,(i)(ii)极小值.注我们实际上已经证明，对于可微凸函数，其极极值，并且是极小值.证应当注意，这里并没有假设函数f(x)的可微例4此下面这个例题自然就产生了.值总是极小值,可微凹函数的极值总是极大值.因性，所以例2的方法就失效了.对于任意　　　　　因为f(x0)是极小值，所以又因为f(x0)是严格凸函数，所以同理可证：对于任意　　　　　仍有f(x0)>f(x).存在　　　　　　使得同时成立,矛盾.所以极值点惟一.设f(x)有另一极小值.根据以上讨论，把

5、和x0分别看作极值点时,有均为正数.詹森不等式例5证即又因故有再由对数函数是严格增的，就证得的严格凹函数，所以有例6图中所示的M是一个拐点.定义2曲线的切线，并且切线的两侧分别M是严格凸和严格凹的，这时称下面两个定理是显然的.定理6.15定理6.16但根据定义2,点(0,0)却是曲线-2-1O12-11复习思考题1.两个凸函数的乘积是否是凸函数?2.两个凸函数的复合是否是凸函数?3.任选一个凸函数,利用詹森不等式构造出新的不等式.