函数的单调性、极值与最值(I)

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1、§4-3函数的单调性、极值与最值一、函数的单调性1、定理1：设f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则有（1）若在（a，b）内，f′(x)>0，则f(x)在[a，b]上单调递增；（2）若在（a，b）内，f′(x)<0，则f(x)在[a，b]上单调递减.证明：注1：Th1是一个充要条件；注2：Th1中的“>”和“<”号也可改为“≥”和“≤”号，结论同样成立.2、分段单调函数：Def1：若函数在某些子区间上单调递增，而在另一些子区间上单调递减，则称该函数为分段单调函数.3、驻点：Def2：4、利用导数性质来判断函数的性质

2、，它包含三个典型的问题（1）求函数单调区间求f(x)单调区间的步骤：1°求f(x)在其定义域内的全部驻点和不可导点；2°用这些驻点及不可导点将定义域分为若干个子区间；3°列表，在每个子区间上用Th1判断f(x)的单调性.例1：讨论f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调性.解：x（-∞,1）（1,2）（2,+∞）f′(x)+－+f(x)↑↓↑例2：讨论的单调性.解：x（-∞,-1）（-1,0）（0,1）（1,+∞）f′(x)－+－+f(x)↓↑↓↑综上述：练习利用定理1判断下列函数的单调性（2）证明不等式，通常是两项不等式例3：证明证：

3、（3）证明方程只有一个根例4：证明方程sinx=x只有一个根.证：二、函数的极值1、定义：设函数f(x)在x0的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内的任意一点x，只要xx0，就一定满足f(x)

4、的不可导点，或是可导点；当x0是f(x)的可导点，那么x0必是函数的驻点，即f(x0)=0.推论：设函数f(x)在点x0可导，则函数f(x)在点x0取得极值的必要条件是f(x0)=0.注1：极值点有可能是可导点，也有可能是极值点.xyOabx2x4Ax0x1x3x5x6x7BC注2：f(x)的驻点不一定是其极值点，而f(x)的极值点也不一定是其驻点.注3：f(x)的不可导点不一定是其极值点，如点C.例如：点B是驻点，但不是极值点；点A是极值点A，但不是驻点.3、极值的充分条件定理3（第一充分条件）设函数f(x)在点x0的去心邻域

5、内可导，在点x0处连续，则有如下结果：（1）当x0，所以f(

6、x)－f(x0)=f()(x－x0)<0，即f(x)x0时x0<

7、0，则函数f(x)在点x0有极小值。（3）如果f(x0)=0，无法判断．注：比较两个判定方法，显然定理3适用于驻点和不可导点，而定理4只能对驻点判定．4、求函数f(x)的极值的步骤：（1）确定函数f(x)的考察范围，即定义域；（2）求出函数f(x)的导数f(x)；（3）求出函数f(x)的所有驻点及不可导点，即求出f(x)=0的根和f(x)不存在的点；（4）列表，利用定理3或定理4，判定上述驻点或不可导点是否为函数的极值点，并求出相应的极值．例5：求函数f(x)=(x+2)2(x－1)3的极值．解：（1）Ｉ＝(-，+)；（2）

8、f(x)=2(x+2)(x－1)3+3(x+2)2(x－1)2=(x+2)(x－1)2(5x+4)；（3）令f(x)=0，即(x+2)(x－1)2(5x+4)=0f(x)没有不可导点；（4