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1、第四节函数的导数与微分的应用三、微分公式与微分运算法则四、函数的单调性、凹凸性、极值与最值一、利用微分计算近似值及误差估计二、洛必达法则当很小时,得近似等式:……(1)……(2)……(3)一、近似计算与误差估计（一）近似计算的近似值.解:设例１.求很小)证明:令代入(4)式得常用近似公式:特别当很小时,在(3)式……(4)（类似可得）的近似值.解:例２.计算（二）误差估计某量的精确值为x,其近似值为xo,称为xo的绝对误差称为xo的相对误差若称为测量x的绝对误差限称为测量x的相对误差限误差传递公式:已知测量误差限为按公式计算y值时的误差故y的绝对误差限约为相
2、对误差限约为若直接测量某量得x0,二、洛必达法则函数之商的极限导数之商的极限转化(或型)研究思路:洛必达法则未定式(未定型或不定型):(1)型存在(或为)定理2.７(洛必达法则)则设f(x),g(x)满足：注1.定理1中换为下列过程之一:注3.若条件,则洛必达法则注2.使用洛必达法则时，验证3个条件；例３.求解:原式洛例４.求解:原式注意:不是未定式不能用洛必达法则!洛洛例５.求解:原式洛(2)型存在(或为∞)定理2.８(洛必达法则)则设f(x),g(x)满足：例６.求解:原式=洛洛例７.求解：洛(3)其他未定式:解决方法:通分转化取倒数转化取对数转化例８.
3、求解:原式解:原式例９.求通分转化取倒数转化取对数转化洛例10.求解:通分转化取倒数转化取对数转化洛三、函数单调性、凹凸性、极值与最值若在(a,b)内定理2.9设函数[a,b]内单调递增(递减).在[a,b]内连续,(1)单调性在(a,b)可导,则函数f(x)在例11.确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为例12.当x>0时，试证证:设故[0,+∞)上f(x)是单调增加，则称为的驻点。在其中当时,(1)则称为的极大值点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小值点,称为函数的极小值。极大值点与极小值点统称为极值点。（2）极值若定义：定义2.8
4、注意:为极大值点为极小值点不是极值点2)1)函数的极值是函数的局部性质.例如,为极大值点,是极大值是极小值为极小值点,函数(必要条件)定理2.10(极值第一判别法)且在x0的某去心邻域内可导,(1)“左正右负”(2)“左负右正”时,当而当时,时,当而当时,(3)若在点x0的某去心邻域内,求极值的步骤:与不可导点（可疑极值点）；求函数的极值.例13.解:驻点附近的符号变化的情况:因此无极值极大值极小值定理2.11(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值。例14.求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一
5、判别法判别.(3)最大值与最小值则f(x)在最值出现在：驻点、不可导点、区间端点。求函数最值的方法:1)求在内的驻点和不可导点2)最大值最小值闭区间[a,b]上必有最大值和最小值。定理：例15.解：（1）求导（2）求驻点、不可导点：驻点为不可导点为（3）计算这些点的函数值，求最大值和最小值：肌肉或皮下注射后,血中药物的浓度与时间例16.问t为何值时，血中药物浓度达最大值。的关系是解：令（唯一驻点）因此当t=t0时，血中药物浓度达最大值。定义2.9设函数在区间I上连续,若对若对有则称函数图形在此区间上是凹的，如下左图;四、曲线的凹凸性若对有则称函数图形在此区间
6、上是凸的，如下右图;定理2.12(凹凸判定法)(1)在I内则f(x)在I内图形是凹的;(2)在I内则f(x)在I内图形是凸的。设函数在区间I上有二阶导数定义2.10函数的凹凸分界点称为拐点。拐点证明略（可从斜率的大小变化来理解）对应例17.求曲线的凹凸区间及拐点。解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)及均为拐点。凹凹凸本节内容总结一、近似计算与误差估计二、洛必塔法则通分转化取倒数转化取对数转化本节内容总结三、函数的单调性、凹凸性、极值、最值极值第一判别法极值第二判别法求极值的步骤由极值求最值用二阶导的符号来判
7、断凹凸性用一阶导的符号来判断单调性本节作业练习题2.4：1，2，3（1），4（1），6复习题二：8，9分析:原式～～洛备用练习
