分数阶傅里叶变换FRFT研究

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1、分数阶FROURIER变换电信工程学院本小组人员李耀民张陆勇张风山朱雪田张咏梅王春光邓天乐孙华明电信工程学院分数阶FROURIER变换目标：FRFT的本质特征之一：旋转不变性FRFT的本质特征之二：FRFT的内涵FRFT特别适用于LFM信号的分析与处理FFT为FRFT的一个特例电信工程学院相关术语FRFT:FractionalFourierTransform广义Fourier变换:FractionalFourierTransformSTFT:Short-TimeFourierTransformMSTFT:Modifie

2、dShort-TimeFourierTransformWD:WignerDistributionLFM:线调频信号电信工程学院主要内容1问题的提出2FRFT的基本概念3FRFT的基本性质4一些常见信号的FRFT5FRFT的计算方法6FRFT的二维表示7FRFT的应用8FRFT域内的算子9我的想法电信工程学院一.问题的提出信号的时频滤波时域滤波频域滤波时频域滤波电信工程学院一.问题的提出有用信号为高斯信号e-(t-4)2干扰为线性调频信号e-jt2.电信工程学院一.问题的提出信号:高斯包络的线调频信号(LFM)干扰为

3、加性实值白噪声.电信工程学院一.问题的提出LFM信号可广泛应用于各种信息系统通信雷达声纳地质勘探电信工程学院二.FRFT的基本概念传统Fourier变换的定义及性质两个函数g(t)与G(w)为Fourier变换对G(w)=g(t)e-jwtdt/√2g(t)=G(w)ejwtdw/√2G(w)=F(g(t))F2(g(t))=F[F(g(t)]=g(-t)F3(g(t))=G(-w)F4(g(t))=F[F3(g(t)]=g(t)电信工程学院二.FRFT的基本概念分数阶的Fourier变换的定义Fourier变

4、换可以看成时域与频域的关系，在时频平面上为旋转/2,我们定义一个实数=p/2,其中p为任意实数，那么是否存在旋转角度为的Fourier变换？旋转角度不为/2的整数倍的情况下,存在什么样的变换呢?如果存在,则我们称之为分数阶的Fourier变换.它应具有的基本性质:零旋转R0=I与Fourier变换等价R/2=F旋转相加性RR=R+恒等变换R2=I电信工程学院二.FRFT的基本概念核概念及性质设p为任意实数,我们定义广义Fourier变换:其中核函数为:=p/2电信工程学院二.FRFT的基本概

5、念核函数具有以下性质:1.互换性2.3.4.积分相加性（完备性）5.正交性电信工程学院二.FRFT的基本概念广义Fourier变换的两个特例1.以传统的Fourier变换为例,我们可以看出,传统的Fourier变换为广义Fourier变换的一个特例,在广义Fourier变换中,令p=1即为传统的Fourier变换.此时广义Fourier变换的核函数即为传统的Fourier变换中的标准正弦正交基函数2.在广义Fourier变换中,令p=0即为输入的时间函数x(t),p=0=0核函数为(t-u)3.传统的Fouri

6、er变换为广义Fourier变换的一个特例4.核函数为p的连续函数电信工程学院二.FRFT的基本概念电信工程学院二.FRFT的基本概念方波的几种分数阶Fourier变换.实线:实部虚线:虚部电信工程学院二.FRFT的基本概念图(a):三角函数rect(x/2)*rect(x/2)的幅值（实线）和p=0.5的FRFT的幅值（虚线）图(b):图(a)的相位，三角函数（实线），FRFT（虚线）图(c):有限长正旋函数ej2xrect(x/20)的实部图(d):图(c):有限长正旋函数的FRFT(p=0.5)的实部图(e):

7、线性调频函数e-j2x2的实部图(f):图(e)的FRFT(p=2arctan(-2)/+1)电信工程学院二.FRFT的基本概念信号重构:可逆无损失的变换，仅仅改变信号的形式，并不改变信号的内容，因而信号通过正变换由一个域变换到另一个域，而通过反变换又回到原始域。有的信号重构不需要条件,有的信号重构有时需要一定的条件。比如，（1）FFT与IFFT(无条件）G(w)=g(t)e-jwtdt/√2g(t)=G(w)ejwtdw/√2电信工程学院二.FRFT的基本概念（2）STFT:ISTFT:条件：(3)FRF

8、T:IFRFT:FRFT为无条件的.电信工程学院二.FRFT的基本概念传统Fourier变换的性质线性F[anf(t)]=anF[f(t)]卷积定理F[f(t)*g(t)]=F[f(t)]•F[g(t)]时域相关性定理Rf1f2=f1()f2*(t-)dF[Rf1f2]=F[f1(t)]F*[f2(t)]4.时移特性F