连续非周期信号的Fourier变换

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1、§2.2连续非周期信号的Fourier变换一、问题的分析二、连续Fourier变换与连续频谱三、一些常用信号的频谱五、连续信号的卷积与卷积定理四、连续Fourier变换的基本性质六、连续周期信号的连续Fourier变换借助Fourier级数展开，使得人们能够完全了解一个信号的频率特性，从而认清了一个信号的本质，这种对信号的分析手段也称为频谱分析(或者谐波分析)。但是，Fourier级数要求被展开的信号必须是周期信号，而在工程实际问题中，大量遇到的是非周期信号，那么，对一个非周期信号是否也能进行频谱分析呢?一、问题的分析1.简单分析(1)非

2、周期信号可以看成是一个周期为无穷大的“周期信号”。一、问题的分析当T越来越大时，取值间隔越来越小；当T趋于无穷时，取值间隔趋向于零，因此，一个非周期信号将包含所有的频率成份。其频谱是以基频为间隔离散取值的。即频谱将连续取值。(2)当时，频率特性发生了什么变化？Fourier级数表明周期信号仅包含离散的频率成份，分析离散频谱变成连续频谱。结论一、问题的分析1.简单分析(3)当时，级数求和发生了什么变化？记为节点将间隔记为得并由一、问题的分析1.简单分析分析(3)当时，级数求和发生了什么变化？分析一、问题的分析1.简单分析结论级数求和变成函数

3、积分。按照积分定义，在一定条件下，上式可写为2.Fourier积分公式一、问题的分析(2)绝对可积，即上的任一有限区间内满足Dirichlet条件；(1)在定理设信号满足的间断处，公式的左端应为在称(A)式为Fourier积分公式。定义则在的连续点处，有(A)Fourier第三对傅氏变换1.连续Fourier变换的概念注：上述变换式中的广义积分为柯西主值。二、连续Fourier变换与连续频谱定义(1)称为连续Fourier正变换；(2)称为连续Fourier逆变换。非周期连续连续非周期与Fourier级数的物理意义一样，Fourier变换

4、同样称为振幅谱；称为相位谱。刻画了一个非周期信号的频谱特性。信号的频谱是连续取值的。它一般为复值函数，故可表示为称为频谱密度函数(简称为连续频谱或者频谱)；定义反映的是信号中各频率分量的分布密度，2.连续Fourier变换的物理意义二、连续Fourier变换与连续频谱不同的是，非周期a-a1t解(1)三、一些常用信号的频谱例求单位矩形脉冲信号及其Fourier积分表达式。的频谱解(1)(2)振幅谱为相位谱为2a主瓣旁瓣(3)求Fourier逆变换，即可得到的Fourier积分表达式。解在上式中令注将记为可得积分公式：一般地，有特别地，有在

5、上式中令注将记为可得积分公式：即与1构成Fourier变换对由此可见，单位冲激函数包含所有频率成份，且它们具有相等的幅度，称此为均匀频谱或白色频谱。求单位冲激信号的频谱例利用的筛选性质，可得：解t1f1求单位冲激信号的频谱的积分方式得出来的，在对单位冲激信号进行Fourier变换时，其广义例按照Fourier逆变换公式有注重要公式积分是根据的性质直接给出的，一种广义的Fourier变换。而不是通过通常称这种方式的Fourier变换是解已知信号的频谱为例求信号*1(抽样信号)已知信号的频谱为例求解求单位阶跃信号的频谱例由于的频谱为得解如图，

6、11-1分别求信号与的频谱。例解(1)(2)将等式的两边对求导，有即得三、一些常用信号的频谱(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(汇总)四、连续Fourier变换的基本性质2.线性性质4.求“和”性质3.微分性质1.对偶性质若则[其中为信号][其中为信号]时移性质表明：当一个信号沿时间轴移动后，各频率成份的大小不发生改变，但相位发生变化；频移性质则被用来进行频谱搬移，这一技术在通信系统中得到了广泛应用。5.位移性质设为实常数，则性质(时移性质)(频移性质)(1)(2)四、连续Fourier变换的基本性质6.相似性质相似性质表明，事实

7、上，在对矩形脉冲信号的频谱分析中已知：脉冲越窄，则其频谱(主瓣)越宽;脉冲越宽，则其频谱(主瓣)越窄。相似性质正好体现了脉冲宽度与频带宽度之间的反比关系。若信号被压缩则其频谱被扩展；若信号被扩展则其频谱被压缩。设a为非零常数，则性质四、连续Fourier变换的基本性质在电信通讯中，为了有效地利用信道，希望信号的频带宽度要窄。为了迅速地传递信号，希望信号的脉冲宽度要小；相似性质表明这两者是矛盾的，因为同时压缩脉冲宽度和频带宽度是不可能的。6.相似性质设a为非零常数，则性质四、连续Fourier变换的基本性质7.帕塞瓦尔(Parseval)等

8、式证明由有四、连续Fourier变换的基本性质帕塞瓦尔等式表明，时域中的能量与频域中的能量相等。(能量守恒)解设有矩形脉冲信号为求积分的值。例则的频谱为由Parserval等式有即即如果它在上