信号与系统第4章 连续时间fourier变换

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1、第4章连续时间傅里叶变换1.连续时间傅里叶变换推导2.傅里叶变换举例3.周期信号的傅里叶变换4.连续时间傅里叶变换的性质5.由线性常系数微分方程表征的系统本章内容在”复变函数与积分变换”课程已经详细讲过.当作复习.1连续时间傅里叶变换的推导•X(t)—一个非周期信号—把它看作一个T→∞的周期信号；•对于一个周期信号，谐波分量被ω0=2/πT隔开；•由于T→∞,0ω0→，因此谐波分量在频率域隔的很近。⇓傅里叶级数→傅里叶积分激励例子：方波增加固定不变2sin(kTω)01当a=ωkkTω0和T增加时，离散2sinωTTa=1频率k

2、ωω=kω0点变密。简单

3、起见假设x(t)有一个有限的持续。TT⎧x(),t-

4、

5、t>2由于T,→∞xt!()(=xt)对于所有t推导（接上）∞!()jktω02xt=∑ae⎛⎞πk⎜⎟ω=k=−∞0T⎝⎠TT11ax==22!()te−−jkωω00tdtx()tejktdtk∫∫TTTT−−22↑xt!()=xt()在此区间1∞−jkω0t=∫xte()dt（）1T−∞∞−jtω如果我们定义：Xj()ω=∫x()tedt−∞则例（1）⇒Xjk(ω0)a=kT推导（接上）因此，对于TT-

6、()ω0k=−∞%(&('Tak1∞jktω0=∑ωω00Xjk()e2πk=−∞⇓由于T,→∞∑ωω0→∫d我们得到连续时间傅里叶变换对1∞jtωxt()=∫Xj()ωedω综合方程−∞2π∞−jtωX()jxω=∫()tedt分析方程−∞2连续时间傅里叶变换举例例#1()axt()=δ()t∞−jtωXj()ωδ==∫()tedt1−∞⇓1∞jtωδ()te=∫−∞dω—δ()t的综合方程2π()bxt()=−δ(tt)0∞−jtωXj()ωδ=−()ttedt∫0−∞−jωt0=e例#2：指数函数−atx()teu=(),ta>0∞∞−−jtωωa

7、t−jtXj()ω==∫∫xtedt()eedt%(&('−∞0−+()ajtωe⎛⎞11∞−+()ajtω=−⎜⎟e=⎝⎠aj++ω0ajω1/222−1Xj()1ωω=+/(a)∠=X()tjωω−an/(a)偶对称奇对称例#3：一个时域方波脉冲T1jt2sinωTXj()edt−ω1ω==∫−T1ω注意：在这两个宽度中相反的关系⇒不确定原理关于CTFT的一些有用的事实∞∞x()=2tdtTX=(0)上面的例子：∫−∞1X(0)=∫xtdt()−∞1∞1∞x(0)=X(jω)dω上面的例子：x(0)=1=∫Xjd(ω)ω2∫−∞2π−∞π1=×（三角

8、形的面积）2π3周期信号的连续时间傅里叶变换假设X(jω)=δωω(−)0⇓11∞jtωjω0tx()te=−=δωω()dωe∫022ππ−∞即jtω0e↔−2(πδωω)0更普遍地∞∞jkω0txt()=↔∑∑aekkXj()ω=−2πδωωa(k0)kk=−∞=−∞例#4：11jω00tj−ωtxt()cos==+ωtee022TXj()ω=−++πδωω(00)()πδωω“线状谱”∞例#5：xt()=−∑δ()tnT—采样函数n=−∞11T/2xt()a()te−jkω0tdt↔==δk∫TT−T/2+∞1+∞jktω00jktωxt()==∑

9、∑aekekk=−∞T=−∞⇓⎛⎞∞22kπ⎜⎟πXj()ωδ=−∑⎜⎟ωk=−∞kTT⎜⎟k2πωakk⎝⎠0在频率域的采样函数！注意：（t的周期）T⇔（的周期）2π/Tω4连续时间傅里叶变换的性质1）线性axt()+↔byt()aXj(ω)+bYj(ω)xtte−jtω0Xj2）时移性(−↔0)(ω)证明：∞∞'−−jtωω−jtω0''jt∫∫x()ttedte−=0xtedt()−∞%−∞((&(('Xj()ωFT幅度不变eX−jtω0jXj(ω)=(ω)FT相位线性改变eXj−jtω0Xjt∠=((ω))∠(ωω)−0性质（接上）3）结合对称性

10、*x()tX实↔−=(jXω)(jω)⇓X(-jXω)=(jω)偶∠=Xj(--ω)∠Xj(ω)奇R{-eX(jRω)(}=e{Xjω)}偶IXjmm{-}(ω)(=−IXj{ω)}奇性质继续……1⎛⎞ω4）时间伸缩性x()at↔X⎜⎟jaa⎝⎠例如：a>1→at>t⇓a=−1在时间域压缩()()⇔在频率域伸展x−↔−tXjω⇓a)x(t)是实的和偶的x(txt)=(−)*⇒=X(jω)()XjXj−ωω=()−实偶&b)x(t)实的和奇的xt()=-xt(−)XjXjXj*-&纯虚奇⇒=(ω)()−−ωω=−()c)Xj(ω)=+RXem{(jjωω)

11、}IX{(j)}↑↑对于实数xt()=+Extvd{()}O{xt()}卷积性质