高三一轮复习函数与方程

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1、第九节函数与方程[主干知识梳理]一、函数的零点1．定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．2．函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与有交点⇔函数y＝f(x)有．f(x)＝0x轴零点3．函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个也就是方程f(x)＝0的根．f(a)·f(b)<0(a，b)f(c)＝0c二、二次函数y＝a

2、x2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1，0)无交点零点个数(x1，0)(x2，0)两个一个零个，三、二分法对于在区间[a，b]上连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．f(a)·f(b)<0一分为二零点[基础自测自评]1．(教材习题改编)下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是()C[关键要点点拨]1．函数的零点不是点：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)

3、的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．2．对函数零点存在的判断中，必须强调：(1)f(x)在[a，b]上连续；(2)f(a)·f(b)<0；(3)在(a，b)内存在零点．这是零点存在的一个充分条件，但不必要．3．对于定义域内连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．确定函数零点所在的区间[规律方法]利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时，首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续不断，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)

4、内必有零点．[典题导入](1)(2012·湖北高考)函数f(x)＝xcos2x在区间[0，2π]上的零点的个数为()A．2B．3C．4D．5判断函数零点个数作出y＝f(x)的图象，由图象知零点的个数为5.答案5[规律方法]判断函数零点个数的常用方法(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出

5、两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．B[函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝－f(x)，故f(x＋2)＝－f(x＋1)＝－[－f(x)]＝f(x)，即函数f(x)的周期为2，作出x∈(－1，1]时，f(x)＝

6、x

7、的图象，并利用周期性作出函数f(x)在[－5，5]上的图象，在同一坐标系内再作出g(x)在[－5，5]上的图象，由图象可知，函数f(x)与g(x)的图象有9个交点，所以函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5，5]上的零点的个数为9，选B.][典题导入]已知函数f(x)＝ex－x＋a有零点，则a的取值范围是____

8、____．[听课记录]∵f(x)＝ex－x＋a，∴f′(x)＝ex－1.令f′(x)＝0，得x＝0.函数零点的应用当x<0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－∞，0)上是减函数；当x>0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．故f(x)min＝f(0)＝1＋a.若函数f(x)有零点，则f(x)min≤0，即1＋a≤0，得a≤－1.答案(－∞，－1][规律方法]已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3

9、)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．[跟踪训练]3．已知函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)是偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝x，若在区间[－1，3]上函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，则实数k的取值范围是______．解析由f(x＋1)＝f(x－1)得，f(x＋2)＝f(x)，则f(x)是周期为2的函数．∵f(x)是偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝x，∴当x∈[－1，0]时，f(x)＝－x，易得当x∈[1，2]时，f(x)＝－x＋2，当x∈[2，3]时，f(