高数上册第一章第二节数列的极限

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1、1第二节数列的极限一、概念的引入二、数列的定义三、数列的极限四、数列极限的性质五、小结思考题12单击任意点开始观察1.【割圆术】观察完毕“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽【引例】一、概念的引入3正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积42.【截丈问题】“一尺之棰，日取其半，万世不竭”公元前300年左右，中国古代思想家墨子语：5二、数列的定义【例如】6【注意】1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数7单击任意点开始观察三、数列的极限观察结束8

2、【问题1】当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?【问题2】“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它，描述它。通过上面演示实验的观察:【直观定义】当n无限增大时，xn无限接近于一个确定的常数a，称a是数列xn的极限.“距离任意小”910【发散】如果数列没有极限,就说数列是发散的.【说明】发散有①不存在；②-∞；③+∞；④∞。1.【精确定义】设{xn}为一数列,若存在常数a,对任给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数N,使得当n>N时，不等式

3、xn-a

4、<ε都成立,那么就称a是数列{xn}的

5、极限,或者称数列{xn}收敛于a,记为或11任意、给定二重性：只有任意（小）才能刻划出xn“无限接近于a”，而只有给定才能找到相应的N.（已知极限存在时，常用给定性来论证）（但不是函数关系，因N不唯一）【注意】（5）.［意义］用一个有限数，概括出一个无限变化的量(用常量研究变量)。123.【几何解释】等价解释2.【ε—N定义】Any表任意(给)Exist表存在或至少有一个【思考】认为“当n>N时，有无穷多个点落在(a-ε,a+ε)内”是等价解释，正确吗？13数列极限的定义未给出求极限的方法.【例1】【证】所以,【注意

6、】14【例2】【证】【练习】证明常数列的极限等于它本身.（公式）所以,15【例3】【证】【小结】用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.—公式16【补例4】【证】放大不等式17【注意】(1)即，通过不等式的放大等措施求出正整数N，再定出n的范围，从而保证成立.(2)N与ε是相对应的，但N不是唯一的;N有无穷多个，则“n>N”允许为“n≥N”.(3)同理，因ε任意，则2ε，等也任意，则允许为18四、数列极限的性质1.唯一性【定理1】每个收敛的数列只有一个极限.【证】［注意以下证明都是已知极限存

7、在时，利用ε的给定性来论证的］用反证法19【例5】【证】由定义,区间长度为1.矛盾【证完】202.有界性【例如】有界无界不可能同时位于长度为1的区间内.21(2)【定理2】收敛的数列必定有界.【证】由定义,【注意】①逆否命题必成立：无界数列必定发散.②逆命题不成立；有界列不一定收敛.③数列有界是收敛的必要条件.223.保号性【定理3】【证明】由数列极限定义，有从而【证完】23【推论】【证明】以下用反证法由定理3知【证完】244.【子数列的收敛性】（收敛列与其子列的关系）【注意】［例如］（1）【定义】①②③25（2）【

8、定理4】收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同．【证】【分析】欲证26【证毕】（寻找到K）27【注意】a.常用此关系判断一个数列极限不存在方法①：若数列有两个子列收敛于不同的极限，则原数列发散.如数列方法②：若数列有一个子列发散,则原数列发散.如b.上例说明了发散数列也可能有收敛的子列.28五、小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质:唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性.29【思考题】【错证】可以证明因为解新的不等式故当时必有［证完］30【思考题解答】【分析】错误①：极限是

9、1明显是不对的，应为0.错误②：推导过程中又将不适当的放大，致使不等式：不能对任何ε>0成立.［例如］取ε=1/2时，找不到n满足该不等式.【结论】极限的分析定义严格描述了极限过程，如果随心所欲地放大不等式，就会导致荒谬的结果.切记证明中应适当放大，且最终必须是无穷小（即极限为0），否则无法保证小于任给的ε>0.31【正确证法】因为解不等式故取则当n>N时，必有故［证完］