高数同济§1.8函数的连续性与间断点

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1、一、函数的连续性增量函数连续二、函数的间断点第一类间断点第二类间断点§1.8函数的连续性与间断点上页下页结束返回首页1思考：如何描述这种现象？一、函数的连续性曲线不断曲线断开函数f(x)随x的改变而逐渐改变;突变现象下页数学语言：增量21.增量的概念：一、函数的连续性曲线不断曲线断开注:①也记Δx=x1-x0,即自变量x从初值x0变到终值x1；②增量Δx和Δy可正可负;③在第2章的导数部分将再次研究增量.下页32函数的连续性定义提示:下页设x=x0+Dx则当Dx0时xx0因此设函数y=f(x)在点x

2、0的某一个邻域内有定义那么就称函数y=f(x)在点x0处连续Dy=f(x0+Dx)-f(x0)如果4思考：如何用e-d语言叙述函数的连续性定义？e>0d>0当

3、x-x0

4、

5、f(x)-f(x0)

6、

7、函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续8注:3连续函数在区间上每一点都连续的函数叫做在该区间上的连续函数或者说函数在该区间上连续连续函数举例（1）多项式函数P(x)在区间(-+)内是连续的这是因为函数P(x)在(-+)内任意一点x0处有定义并且下页如果区间包括端点那么函数在右端点连续是指左连续在左端点连续是指右连续9（2）正弦函数y=sinx在区间(-+)内是连续的这是因为函数y=sinx在(-+)内任意一点x处有定义并且首页在区间上每一点都连续的函数叫

8、做在该区间上的连续函数或者说函数在该区间上连续连续函数举例3连续函数实际上,初等函数在定义区间上都是连续的，（见下节）.10二、函数的间断点设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义在此前提下如果函数f(x)有下列三种情形之一(1)在x0没有定义则函数f(x)在点x0不连续而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点(2)虽然在x0有定义但f(x)不存在(3)虽然在x0有定义且f(x)存在但f(x)f(x0)下页1间断点（不连续点）的定义112间断点举例例1下页12例2当x0时函数

9、值在-1与+1之间变动无限多次所以点x=0是函数的间断点所以点x=0称为函数的振荡间断点下页2间断点举例13所以点x=1是函数的间断点如果补充定义令x=1时y=2则所给函数在x=1成为连续所以x=1称为该函数的可去间断点例3下页2间断点举例14因函数f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点例4下页2间断点举例15通常把间断点分成两类设x0是函数f(x)的间断点如果左极限f(x0-)及右极限f(x0+)都存在那么x0称为函数f(x)的第一类间断点不属

10、于第一类间断点的间断点称为第二类间断点在第一类间断点中左、右极限相等者称为可去间断点不相等者称为跳跃间断点无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点3间断点的类型下页16可去型第一类间断点跳跃型无穷型第二类间断点oyxoyxoyx下页oyx振荡型17狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.★★仅在x=0处连续,在定义域R内其余各点处处间断.但其绝对值处处连续.下页18小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃

11、型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点下页19练习：研究下列函数在x=0的连续性，若是间断的，指出间断点类型。解：1)2)∴x=0为第一类间断点。下页20不存在，∴x=0为第二类间断点。4）∴当a=0时f(x)在x=0处连续。a≠0时x=0为f(x)的可去间断点。3）（a为任意实数）下页21P59:2、4-（2）（4）64：2-（1）、（3）、322