向量及其线性运算(I)

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时间:2019-07-14

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1、数量关系—第八章第一部分向量代数第二部分空间解析几何在三维空间中:空间形式—点,线,面基本方法—坐标法;向量法坐标,方程(组)空间解析几何与向量代数1第八章第一节第一节向量及其线性运算教学内容1向量的概念与向量的线性运算;2空间直角坐标系;3利用坐标作向量的线性运算;4向量的模,方向角,投影;本节考研要求1理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示;2掌握向量的线性运算,理解单位向量,方向角与方向余弦,向量的坐标表达式,掌握用坐标表达式进行向量运算方法.2第八章第一节向量(矢量):既有大小又有方向的量.模长为1的向量。零向量:模

2、长为0的向量

3、

4、向量的模:向量的大小单位向量:一、向量的概念或或向量的记法:(方向任意)。向量的表示:3第八章第一节规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a=b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,a∥b;与a的模相同,但方向相反的向量称为a的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面.记作-a;4第八章第一节二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三

5、角形法则可推广到多个向量相加.5第八章第一节6第八章第一节2.向量的减法三角不等式7第八章第一节*例1试证:任一个三角形的三条中线向量可以构成一个三角形。证ABCDEF8第八章第一节3.向量与数的乘法是一个数,规定:可见与a的乘积是一个新向量,记作总之:运算律:结合律分配律因此9第八章第一节定理1.设a为非零向量,则(为唯一实数)证:“”.,取=±且再证数的唯一性.则a∥b设a∥b取正号,反向时取负号,,a,b同向时则b与a同向,设又有b=a,10第八章第一节“”则例1.设M为解:ABCD对角线的交点,已知b=a

6、,b=0a,b同向a,b反向a∥b11第八章第一节ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.坐标原点坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)过空间一定点o,坐标面卦限(八个)zox面1.空间直角坐标系的基本概念Ⅰ12第八章第一节向径在直角坐标系下坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点M特殊点的坐标:有序数组(称为点M的坐标)原点O(0,0,0);13第八章第一节坐标轴:坐标面:14第八章第一节2.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点M则沿三个坐标轴方向的分向量.的坐标为此

7、式称为向量r的坐标分解式,任意向量r可用向径OM表示.15第八章第一节向径OM有序数组称为(x,y,z)向径OM的坐标,点M点M的坐标。xyz向量AB的坐标=向径OM的坐标A(x1,y1,z1)B(x2,y2,z2)M(x2-x1,y2-y1,z2-z1)=AB的终点坐标(x2,y2,z2)-起点坐标(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)16第八章第一节——按基本单位向量的分解式.17第八章第一节四、利用坐标作向量线性运算18第八章第一节即:平行向量对应坐标成比例:19第八章第一节例2.求解以向量为未知元的

8、线性方程组解:①②2×①-3×②,得代入②得20第八章第一节例3.已知两点在AB直线上求一点M,使解:设M的坐标为如图所示及实数得即21第八章第一节说明:由得定比分点公式:点M为AB的中点,于是得中点公式:22第八章第一节五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与23第八章第一节例4.求证以证:即为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点24第八章第一节例5.在z轴上求与两点等距解:设该点为解得故所求点为及思考:(1)如何求在xoy面上与A,B等距离之点的轨迹方程?(2

9、)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹方程?离的点.25第八章第一节提示:(1)设动点为利用得(2)设动点为利用得且例6.已知两点和解:求26第八章第一节2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)为向量的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角,,为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.记作27第八章第一节方向余弦的性质:28第八章第一节例7.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量29第八章第一节例8.设点A位于第一卦限,解:已知角依次为求点A的坐标.则因点A在第

10、一卦限,故于是故点A的坐标为向径OA与x轴y轴的夹30第八章第一节所求向量有两个,一个与同向,一个反向。或解31第八章第一节(1)空间一点在轴上的投影3、向量在轴上的投影与投影定理32第八章第一节(2)空间向量(向径)在轴上的投影过M点作u轴给定的垂直平面交u轴

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