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1、第三章离散信道及其信道容量第一节信道的数学模型及分类第二节平均互信息及平均条件互信息第三节平均互信息的特性第四节信道容量及其一般计算方法第五节离散无记忆扩展信道及其信道容量第六节信源与信道的匹配第一节信道的数学模型及分类1、信道的分类：根据信道用户的多少，可分为：（1）单用户信道：只有一个输入端和一个输出端（2）多用户信道：至少有一端有两个以上的用户，双向通信根据输入端和输出端的关联：（1）无反馈信道（2）有反馈信道第一节信道的数学模型及分类根据信道参数与时间的关系：（1）固定参数信道（2）时变参数信道根据输入输出信号的特点（1）离散信道（2
2、）连续信道（3）半离散半连续信道：（4）波形信道以下我们只研究无反馈、固定参数的单用户离散信道。第一节信道的数学模型及分类P(y/X)XY根据这一模型，可对信道分类如下：设离散信道的输入为一个随机变量X，相应的输出的随机变量为Y，如图所示：规定一个离散信道应有三个参数：输入符号集：X={x1，x2，…，}输出符号集：Y={y1，y2，…，}信道转移概率：P(Y/X)={p(y1/x1),p(y2/x1),…p(/x1),……p(y1/)…p(/)}2、离散信道的数学模型第一节信道的数学模型及分类（1）无干扰信道：输入信号与输出信号有一一对应关
3、系（2）有干扰无记忆信道：输入与输出无一一对应关系，输出只与当前输入有关；（3）有干扰有记忆信道：这是最一般的信道。第一节信道的数学模型及分类3、单符号离散信道的数学模型单符号离散信道的输入变量为X，取值于输出变量为Y，取值于。并有条件概率条件概率被称为信道的传递概率或转移概率。一般简单的单符号离散信道的数学模型可以用概率空间[X,p(y
4、x),Y]来描述。XY第一节信道的数学模型及分类[P]=y1y2…ymx1p(y1/x1)p(y2/x1)…p(ym/x1)x2p(y1/x2)p(y2/x2)…p(ym/x2)……………xnp(y1/xn
5、)p(y2/xn)…p(ym/xn)表示成矩阵形式：第一节信道的数学模型及分类[例1]二元对称信道（BSC）X={0,1};Y={0,1};p(0/0)=p(1/1)=1-p;p(0/1)=p(1/0)=p;[P]=0101-pp1p1-p01-p0pp11-p1第一节信道的数学模型及分类[例2]二元删除信道X={0,1};Y={0,2,1}[P]=02101－pp010p1-p01-p0pp11-p12[P]=y1y2…ymx1p(y1/x1)p(y2/x1)…p(ym/x1)x2p(y1/x2)p(y2/x2)…p(ym/x2)……………
6、xnp(y1/xn)p(y2/xn)…p(ym/xn)由此可见，一般单符号离散信道的传递概率可以用矩阵表示第一节信道的数学模型及分类第一节信道的数学模型及分类为了表述简便，可以写成下面推导几个关系式：第一节信道的数学模型及分类（1）联合概率其中称为前向概率，描述信道的噪声特性称为后向概率，有时也把称为先验概率，把称为后验概率（2）输出符号的概率（3）后验概率表明输出端收到任一符号，必定是输入端某一符号输入所致第二节平均互信息1、信道疑义度这是收到后关于X的后验熵，表示收到后关于输入符号的信息测度这个条件熵称为信道疑义度，表示输出端在收到一个符
7、号后，对输入符号尚存的不确定性，这是由信道干扰造成的，如果没有干扰，H(X/Y)=0,一般情括下H(X/Y)小于H(X)，说明经过信道传输，总能消除一些信源的不确定性，从而获得一些信息。第二节平均互信息I(X;Y)=H(X)-H(X/Y)2、平均互信息因为H(X),表示传输前信源的不确定性，而H(X/Y)表示收到一个符号后，对信源尚存的不确定性，所以二者之差信道传递的信息量。下面我们讨论一下互信息与其他的熵之间的关系I(X;Y)=H(X)-H(X/Y)=H(X)+H(Y)-H(XY)=H(Y)-H(Y/X)(3.34)第二节平均互信息也可以得
8、到：H(XY)=H(X)+H(Y/X)=H(Y)+H(X/Y)由3.34也可以看出，互信息I(X;Y)也表示输出端H(Y)的不确定性和已知X的条件下关于Y的不确定性之差，也等于发送前后关于Y的不确定性之差。H(X/Y)即信到疑义度，也表示通过有噪信道造成的损失，故也称为损失熵，因此信源的熵等于收到的信息量加上损失的熵；而H(Y/X)表示已知输入的情况下，对输出端还残留的不确定性，这个不确定性是由噪声引起的，故也称之为噪声熵。互信息与各类熵之间的关系可以用下图表示：第二节平均互信息H(X,Y)H(X/Y)H(Y/X)H(X)H(Y)I(X,Y)
9、可以看出，联合熵等于两园之和减去第三部分，也等于一个园加上另外一部分下面讨论两种极端情况：图1第二节平均互信息（1）无噪一一对应信道此时可以计算得：H(X/Y)=H
