在维势箱中运动的粒子-结构化学

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1、四、三维势箱一、一维势箱模型二、薛定谔方程处理一维势箱模型三、对本征值和本征函数的讨论§1-3在一维势箱中运动的粒子一、一维势箱模型——求解Schrodinger方程的实例1．建立模型§1-3在一维势箱中运动的粒子②势能函数：①物理模型：一个质量为m的粒子，不受外力，在一维方向上被束缚在长度为，势能为零的箱内运动，箱外的势能无穷大。③应用范围：§1-3在一维势箱中运动的粒子●金属内自由电子共轭分子的电子●●真空管中电子的运动●原子内部电子在两个能级之间的跃迁§1-3在一维势箱中运动的粒子二、用薛定谔方程处理一维势箱模型用量子力学处理一个体系的一般步骤：●研究体

2、系●建立薛定谔方程●求出，E●解释、预言体系的性质1．体系的薛定谔方程箱外：由于粒子在势箱外不出现，(x)=0哈密顿算符：§1-3在一维势箱中运动的粒子箱内：势能为零，§1-3在一维势箱中运动的粒子薛定谔方程：2．解微分方程的通解§1-3在一维势箱中运动的粒子上述方程是二阶常系数线性齐次方程方程的通解：§1-3在一维势箱中运动的粒子3．根据边界条件讨论微分方程的特解必须是连续的，作为该体系的边界条件，应有§1-3在一维势箱中运动的粒子的特解：4．用波函数的归一化条件,确定待定系数B§1-3在一维势箱中运动的粒子根据玻恩的统计解释—即在整个空间找到粒子的几

3、率必须是100%。要求波函数是归一化的，即：于是得到量子化的本征值和本征函数。§1-3在一维势箱中运动的粒子三、对本征值和本征函数的讨论1．本征值E的讨论(1)能量量子化注：一维势箱中粒子的能量是量子化的，不连续的。在一定条件下，如果粒子的活动范围扩大（即增大），相应的能量降低，如有机共轭分子中的离域效应。不能为零。越大，对应的能级越高，越大，能量越低。§1-3在一维势箱中运动的粒子(2)零点能(3)相邻能级间的能差零点能即基态能量，任何微观粒子的零点能不为零，对于宏观质点，较大，能量变化非常小，完全可以认为能量的变化是连续的。m越大，越大,越小,能量趋向于连

4、续；m越小，越小,越大，量子化越显著。§1-3在一维势箱中运动的粒子2．一维箱中粒子的波函数和几率密度说明在一维箱中粒子存在多种可能的运动状态。箱中粒子的每一个与一个对应。§1-3在一维势箱中运动的粒子(2)的图像以作图，范围n=1n=2n=3n=4波函数几率密度§1-3在一维势箱中运动的粒子除边界条件外其余各处的点称为节点。波函数可以有正负变化，但几率密度总是非负的。节点：节点数：一般来说,节点越多的状态,波长越短,频率越高,能量越高。当很大时，将分辨不清箱中各处几率密度的变化，这就是说，高量子态时趋于经典的均一的几率密度分布。(3)是正交归一化的归一性：是

5、指粒子在整个空间出现的几率为1§1-3在一维势箱中运动的粒子正交性：是指§1-3在一维势箱中运动的粒子正交性证明如下：设有当取前式复共轭时，得由于而按共轭算符的定义，上两式左边应相等，故§1-3在一维势箱中运动的粒子受一定势能场束缚的粒子的共同特征：(a)粒子可以存在多种运动状态，它们可由来描述，没有经典的运动轨道，只有几率分布；(b)存在零点能；(c)能量量子化；§1-3在一维势箱中运动的粒子四、三维势箱1．模型2．建立薛定谔方程需要将薛定谔方程用变数分离法分解成三个一维的微分方程，然后分别求解，最后由分别求得体系的完全波函数和能级。（2）写出薛定谔方程薛定

6、谔方程：箱内，§1-3在一维势箱中运动的粒子边界条件：§1-3在一维势箱中运动的粒子3.解薛定谔方程，根据边界条件和归一化条件求出§1-3在一维势箱中运动的粒子对立方势箱：§1-3在一维势箱中运动的粒子§1-3在一维势箱中运动的粒子4.简并态、简并度、简并能级例：§1-3在一维势箱中运动的粒子定义：象这样一个能级有两个或两个以上的状态与之对应，则称此能级为简并能级，相应的状态（波函数）为简并态，简并态的数目为简并度。三个波函数对应三种不同的运动状态，但对应同一个能量值，称三个状态为简并态，简并度为3。