《维势场中的粒子》PPT课件

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1、在继续阐述量子力学基本原理之前，先用Schrodinger方程来处理一类简单的问题——一维定态问题。其好处有四：（1）有助于具体理解已学过的基本原理；（2）有助于进一步阐明其他基本原理；（3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论,量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；（4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。第2章一维势场中的粒子一维定态薛定谔方程求定态问题：一维：归一化条件，波函数的标准条件，边界条件。U（x）*=U（x），即U（x）取值。2.1一维势场中的粒子能量的一般性质定理1：设是方程（1）的一个解，对应的能量本征值是E，则也是方程的一

2、个解，对应的能量也是E。一维问题的一般性质证：方程（1）取复共轭，注意E取实值，，容易证明。如果对应于能量的某个本征值E，方程（1）的解无简并（即只有一个解），则解为实解。定理2：对应能量的某个本征值E，总可以找到方程（1）的一组实解，凡是属于E的任何解，总可以表示为这一组实解的线性叠加。证：如果是实解,就可以将其归为实解集合。如果是复解，是方程（1）的实解，且：和也是方程（1）的解，属于能量E，且均为实解。和均可以表示为和的线形叠加。定理3：设U（x）具有空间反射不变性，U（-x）=U（x）。如果是方程（1）的对应能量的本征值E的解，则也是方程（1）对应能量E的解。

3、证（略）如果对应某能量E，方程的解无简并，则解必有确定的宇称。定理3：设U(x)具有空间反射不变性，U(-x)=U(x)。如果是方程（1）的对应能量的本征值E的解，则也是方程（1）对应能量E的解。证（略）如果对应某能量E，方程的解无简并，则解必有确定的宇称。空间反演算符定义：将空间矢量反向的操作叫空间反演算符。即：宇称定义：则称波函数Ψ(r,t）具有宇称。在一维情况下，宇称的奇偶性与函数的奇偶性是一致的。定理4：设，则对应任何一个能量本征值E，总可以找到方程（1）的一组解(每个解都有确定的宇称），而属于能量本征值E的任何解，都可以用它来展开。证：构造两个函数（偶宇称）

4、（奇宇称）均为方程（1）的解。则f(x),g(x)可以表示出ψ(x),ψ(-x)定理5：对于阶梯性方位势，有限，则能量本征函数及其导数必定是连续的。定理6：对于一维粒子，设与均为方程（1）的属于同一能量的E的解，则：对于束缚态（boundstate指粒子局限在有限空间中，即无限远处找到粒子的概率为零）则有定理7：设粒子在规则势场V(x){V(x)无奇点}中运动，如存在束缚态，则必定是不简并的。§2.2一维方势(1)一维势阱实例如：金属中的自由电子。金属粒子有规则的排列成行，1）电子在金属内部势能为常数，认定为零；2）表面有一个势阶。总之，此时电子势能可以近似认为是一个

5、方势阱形式。2.2.1一维无限深方势阱，离散谱(2)微分方程的三种形式解。这是二阶常系数微分方程，有三种等价的解：a.b.c.依方便,随取一种形式的解.（3）求解定态问题的步骤讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数Ψ(r,t)和在这些态中的能量E。其具体步骤如下：（1）列出定态Schrodinger方程（2）根据波函数三个标准条件求解能量E的本征值问题，得：（3）写出定态波函数即得到对应第n个本征值En的定态波函数（4）通过归一化确定归一化系数Cn0aI.V=∞II.V=0III.V=∞在左图中，一个质量m的粒子被限制于0

6、=0。在其它区域，V(x)=∞，所以粒子不可能存在。1、一维不对称无限深势阱该问题的定态薛定谔方程建立方法如下：1）先写出一维自由粒子的哈密顿函数：其中，T为粒子动能，V为粒子势能，m为粒子质量，px为粒子在x方向的动量。2）用动量算符及坐标算符代入上式得到一维自由粒子哈密顿算符在区域I与III，因为V=，所以发现粒子的概率为零。∴(x)=0。一维自由粒子定态薛定谔方程为：在区域II，V=0，薛定谔方程简化为：该方程通解为：因为边界条件及连续性要求，(0)=0(a)=0所以：ka=nπn=1,2,3…..一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的，即构成的能谱是离

7、散的。En为方程本征值，对应本征函数为：得由归一化条件：其中n为量子数，我们看到它是由于边界条件而自然引入的。一维方势阱波函数图象1）对束缚态粒子，其能级是量子化的。此为边界点上波函数连续性要求决定，非人为的。而在经典力学中，能量是连续的。通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态。一般地说，束缚态所属的能级是分立的。称为零点能。量子力学体系中零点能的存在，是测不准原理的必然结果。在经典力学中，粒子最低能量为0。对一维势阱中粒子的讨论，可得以下重要概念与结论：2）一维势阱中粒子能量最低态，即基态，为：3）当n>1时，使波函数n(x)=0的点