浅谈分类讨论与解题应用

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1、浅谈分类讨论及解题应用摘要：分类讨论是人们常用的重要思想方法，无论是在生产活动、科学实验，还是在日常的生活中，都常常需要用到它。初中数学中的分类讨论思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想．分类讨论是数学解题中的一个重要思想方法，它能训练人的思维条理性和严密性。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。关键词：数学思想，分类讨论,数学应用前言人们在观察、分析、研究问题时，当被研究的问题出现多种可能情形并难以同时处理时，往往需要按照某种标准分成若干种情况，然后一一解决，从而得到各种情况的相应结论，这就是分类讨论。在数学研究

2、中，当被研究的对象包含多种可能的情况，导致我们不能对他们一概而论的时候，迫使我们必须按所有情况来分类讨论，得出各种情况下相应的结论，这种解决问题的思想方法，我们叫做分类讨论思想。主体学习并掌握分类的思想方法，不仅仅是学习数学的需要，也是学习其它学科和今后工作的需要。在初中数学教学中，经常会遇到需分类讨论的问题，这就要求我们必须要弄清楚分类讨论的动因、原则、讨论步骤等，进而正确、准确的运用分类思想对问题进行研究，以解决问题。一、初中数学分类讨论的动因[1]初中数学分类讨论的动因要由具体的问题情境所决定，我们在教学时必须要认真把握，及时渗透分类讨论思想。1、由于问题涉及到分类讨论思想的有

3、关概念而需要对其进行分类讨论。在初中数学中，常见的分类讨论题型大致可分为以下几类：（1）、问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的.如︱a︱的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况.这种分类讨论题型可以称为概念型。9例如：已知︱x︱=3，︱y︱=2，xy＜0，求x+y的值。分析，因为题目告诉了x、y的绝对值，所以我们在求解时，必须考虑到x、y的分类取值，但又要考虑到xy＜0的条件正确求解。解：∵︱x︱=3，∴x=±3，同理，y=±2又∵xy＜0，∴x=3、y=-2，或x=-3、y=2∴x+y=1或x+y=-1（2）、问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分

4、类给出的。如讨论一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（k≠0）的增减性，要分k＜0和k＞0两种情况.这种分类讨论题型可以称为性质型.例如：已知一次函数y=kx+b，当－３≤ｘ≤１时，对应ｙ的值为１≤ｙ≤９.则ｋ·ｂ的值（）（Ａ）１４（Ｂ）－６（Ｃ）－６或２１（Ｄ）－６或１４解这个题目时，因为事先不知道k值的正负性，所以函数的增减性也就不知道，那就需要分类讨论，假如k＞0，则y随ｘ的增大而增大，即ｘ取－３时，ｙ取１；ｘ取1时，ｙ取9，由此求得ｋ·ｂ=14。而当k＜0时，y随ｘ的增大而减小，即ｘ取－３时，ｙ取9；ｘ取1时，ｙ取1，由此求得ｋ·ｂ=－６。所以答案选D。（3）、解含有字母系数（参数）的题目时

5、，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论.这称为含参型.例如：已知A＝a＋2，B＝a2－a＋5，C＝a2＋5a－19，其中a＞2．求证：B－A＞0，同时指出A与C哪个大？说明理由．解:B－A＝（a－1）2+2＞0∴B＞AC－A＝（a＋7）(a－3)∵a＞2，∴a＋7＞0∴当2＜a＜3时，A＞C当a＝3时，A＝C当a＞3时，A＜C2、由于问题的题设和结论有多种可能情况而需要对其进行分类讨论。例如：求函数y=(k-1)x2+kx+1与x轴的交点坐标。本题的条件是不唯一的，该函数是什么函数？问题中没有说明。有几种可能情况呢？两种：一次函

6、数或二次函数。所以要分为二类：(1)当此函数为一次函数时，9k=1，求得与x轴交点为(-1，0)；(2)当此函数为二次函数时，k≠1，△=(k-2)2，①△>0，即k≠2时，有两个交点(-l，0)、(1/(1-k)，0)；②△=0，即k=2时，有一个交点(-1，0)；③△<0，即(k-2)2<0，不存在k的取值。综合以上分类解题过程，得出本题的正确答案为：k=1时，与x轴交点为(-1，0)；k≠1且k≠2时，与x轴交点为(-1、0)、(1/(1-k)，0)；k=2时，与x轴交点为(-1，0)。由以上的例题，我们知道解此类问题的关键是审清题意。审题是解题的重要一环，在教学中应强调审题的

7、重要性。教师在讲解例题时，应作出认真审题的示范并要求学生养成认真审题的习惯。学生解此类问题的错误往住是由于不细心审题，没有弄清已知条件或未知结论中的不定因素而急于解题所造成。只有审清了题意，全面、系统的考虑问题，把握住了问题中的不定因素和不定因素的各种可能情况，就可以确定出分类的框架，分类时也能做到标准一致，条理清楚，解答此类问题就不易造成重复或漏解。3、由于问题中含有的参变量的不同取值会导致不同结果而需要对其进行分类讨论。例如：已知一次函数y=-x+8和