直线与圆的位置关系精讲

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1、海文教育教师一对一海聚细流，文润蜀州！直线与圆的位置关系　传江哥提供　已知圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，直线L：Ax+By+C=0　　1．位置关系的判定：　　判定方法1：联立方程组得到关于x(或y)的方程　　(1)△>0相交；　　(2)△=0相切；　　(3)△<0相离。　　判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d　　(1)dr相离。　　例1、判断直线L：(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0与圆O：x2+y2=9的位置关系。　　法一

2、：直线L：m(x-y+2)+x+y-1=0恒过点，　　∵点P在圆O内，　　∴直线L与圆O相交。　　法二：圆心O到直线L的距离为　　当d<3时，(2m-1)2<9(2m2+2)，　　∴14m2+4m+17>0　　　　∴m∈R　　所以直线L与直线O相交。　　法三：联立方程，消去y得2(1+m2)x2+(4m2+2m-2)x-5m2+14m-8=0　　∴△=56m4-96m3+92m2-120m+68=4(m-1)2(14m2+4m+17)　　当m≠1时，△>0，直线与圆相交；　　当m=1时，直线L：，此时直线L与

3、圆O相交　　综上得直线L与圆O恒相交。　　[评]法二和法三是判断直线与圆位置关系的方法，但计算量偏大；而法一是先观察直线的特点再结合图，避免了大量计算，因此体现了数形结合的优点。地址：德阳市天山南路二段17号咨询电话：0838-253344海文教育教师一对一海聚细流，文润蜀州！　　例2、求圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y=25的距离的最大最小值　　法一：设P(cosα，sinα)为圆上一点，则点P到直线的距离为　　=　　∴当　　时，dmin=4.　　法二：如图，直线L过圆心，且与直线3x+4y=25垂直

4、于点M，此时，l与圆有两个交点A、B，　　∵原点到直线3x+4y=25的距离

5、OM

6、=5，　　∴圆上的点到直线3x+4y=25的距离的　　最大值为：

7、AM

8、=

9、OM

10、+r=5+1=6　　最小值为：

11、BM

12、=

13、OM

14、-r=5-1=4　　[评]法二是几何做法，充分体现了它计算量小的优势。　　2．切线问题：　　例3：　　(1)已知点P(x0，y0)是圆C：x2+y2=r2上一点，求过点P的圆C的切线方程；(x0x+y0y=r2)　　法一：　　∵点P(x0，y0)是圆C：x2+y2=r2上一点，∴　　当x0≠0且y0

15、≠0时，地址：德阳市天山南路二段17号咨询电话：0838-253344海文教育教师一对一海聚细流，文润蜀州！　　∴切线方程为　　当P为(0，r)时，切线方程为y=r，满足方程(1)；　　当P为(0，-r)时，切线方程为t=-r，满足方程(1)；　　当P为(r，0)时，切线方程为x=r，满足方程(1)；　　当P为(-r，0)时，切线方程为x=-r，满足方程(1)；　　综上，所求切线方程为x0x+y0y=r2　　法二：设M(x，y)为所求切线上除P点外的任一点，则由图知

16、OM

17、2=

18、OP

19、2+

20、PM

21、2，　　即x

22、2+y2=r2+(x-x0)2+(y-y0)2　　∴x0x+y0y=r2且P(x0，y0)满足上面的方程。　　综上，所求切线方程为x0x+y0y=r2。　　(2)已知圆O：x2+y2=16，求过点P(4,6)的圆的切线PT的方程。　　解：当PT方程为x=4时，为圆O的切线，满足题意：　　设PT的方程为y-6=k(x-4)，即kx-y-4k+6=0　　则圆心O到PT的距离为　　所以PT的方程为　　综上，切线PT的方程为x=4，5x-12y+52=0　　[评]　　(1)判断直线与圆的位置关系有两种方法，但利用圆心

23、到直线的距离与半径的关系来判断在计算上更简洁。　　(2)过圆外一点向圆引切线，应有两条；过圆上一点作圆的切线，只有一条。　　例4、求过下列各点的圆C：x2+y2-2x+4y-4=0的切线方程：　　(1)；　　　　（2）B(4，5)　　解：　　(1)圆C：(x-1)2+(y+2)2=9，圆心C(1，-2)，r=3，且点A在圆C上，　　法一：设切线方程为，则圆心到切线的距离为　　，　　∴所求切线方程为地址：德阳市天山南路二段17号咨询电话：0838-253344海文教育教师一对一海聚细流，文润蜀州！　　法二：　　

24、∵AC⊥l，　　∴所求切线方程为　　(2)点B在圆外，所以过B点的切线有两条　　设切线方程为y=k(x-4)+5，则圆心C到切线的距离为　　　　又直线x=4也是圆的切线方程，　　∴所求切线方程为　　例5、设点P(x，y)是圆x2+y2=1上任一点，求的取值范围。　　法一：u表示过点(-1，2)且与圆有交点的直线l的斜率，　　如图，当直线l与圆相切时，PA的斜率不存在，　　直线PB的方程为ux-y+u