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1、证：（I）（II）令（21）已知曲线L的方程（I）讨论L的凹凸性（II）过点引L的切线，求切点，并写出切线的方程（III）求此切线与L（对应部分）及x轴所围的平面图形的面积解：（I）（II）切线方程为，设，，则得点为（2，3），切线方程为（III）设L的方程则由于（2，3）在L上，由线代(6)设A=21,2阶矩阵B满足BA=B+2E,则
2、B
3、=.-12解:由BA=B+2E化得B(A-E)=2E,两边取行列式,得
4、B
5、
6、A-E
7、=
8、2E
9、=4,计算出
10、A-E
11、=2,因此
12、B
13、=2.(13)设a1,a2,…,as都是n维向量，A是m´n矩阵，则（）成立.(A)若a1,a
14、2,…,as线性相关,则Aa1,Aa2,…,Aas线性相关.(B)若a1,a2,…,as线性相关,则Aa1,Aa2,…,Aas线性无关.(C)若a1,a2,…,as线性无关,则Aa1,Aa2,…,Aas线性相关.(D)若a1,a2,…,as线性无关,则Aa1,Aa2,…,Aas线性无关.解:(A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若a1,a2,…,as线性相关,则存在不全为0的数c1,c2,…,cs使得c1a1+c2a2+…+csas=0,用A左乘等式两边,得c1Aa1+c2Aa2+…+csAas=0,于是Aa1,Aa2,…,Aas线性相关.如果用秩来解
15、,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:1.a1,a2,…,as线性无关Ûr(a1,a2,…,as)=s.2.r(AB)£r(B).矩阵(Aa1,Aa2,…,Aas)=A(a1,a2,…,as),因此r(Aa1,Aa2,…,Aas)£r(a1,a2,…,as).由此马上可判断答案应该为(A).(14)设A是3阶矩阵,将A的第2列加到第1列上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记110P=010,则001(A)C=P-1AP.(B)C=PAP-1.(C)C=PTAP.(D)C=PAPT.解:(B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B=PA,1-10C=B01
16、0=BP-1=PAP-1.001(22)已知非齐次线性方程组x1+x2+x3+x4=-1,4x1+3x2+5x3-x4=-1，ax1+x2+3x3+bx4=1有3个线性无关的解.①证明此方程组的系数矩阵A的秩为2.②求a,b的值和方程组的通解.解:①设a1,a2,a3是方程组的3个线性无关的解,则a2-a1,a3-a1是AX=0的两个线性无关的解.于是AX=0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A)³2,从而r(A)£2.又因为A的行向量是两两线性无关的,所以r(A)³2.两个不等式说明r(A)=2.②对方程组的增广矩阵作初等行变换:1111-11111-1(A
17、
18、b)=435-1-1®0–11–53,a13b1004-2a4a+b-54-2a由r(A)=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:102-42®01-15-3.00000得同解方程组x1=2-2x3+4x4，x2=-3+x3-5x4，求出一个特解(2,-3,0,0)T和AX=0的基础解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1)T.得到方程组的通解:(2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T,c1,c2任意.(23)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量a1=(-1,2,-1)T,a2=(0,-1,1)T都是
19、齐次线性方程组AX=0的解.①求A的特征值和特征向量.②求作正交矩阵Q和对角矩阵L,使得QTAQ=L.解:①条件说明A(1,1,1)T=(3,3,3)T,即a0=(1,1,1)T是A的特征向量,特征值为3.又a1,a2都是AX=0的解说明它们也都是A的特征向量,特征值为0.由于a1,a2线性无关,特征值0的重数大于1.于是A的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:ca0,c¹0.属于0的特征向量:c1a1+c2a2,c1,c2不都为0.②将a0单位化,得h0=(,,)T.对a1,a2作施密特正交化,的h1=(0,-,)T,h2=(-,,)T.作Q=(h0,h1,h2
20、),则Q是正交矩阵,并且300QTAQ=Q-1AQ=000.000
