屋檐水槽数学模型

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1、屋檐水槽模型1.问题的提出某居民想在房屋的屋檐处安装一个檐槽，以方便雨天出入.从屋脊到屋檐的屋顶部分是一个长12m、宽6m的矩形平面，屋顶与水平面的夹角为（单位：弧度）。现有一家装修公司想承接这一工程，并给出承诺：提供一种新型耐用的檐槽，包括一个横截面是半径为7.5cm的半圆形水槽和一个直径为10cm的竖直排水管；不论雨量如何，这种燕槽都能及时排掉从屋顶流下的雨水。问：该居民能否接纳这家公司提供的服务？图1屋檐水槽连接示意图2．模型假设(1)降雨分布均匀并以垂直降落，并且直接落在房顶上；(2)所有落在房顶上的雨水迅速流入水槽中；(3)雨水不从水槽中溅出

2、；(4)排水管道顺畅，没有任何障碍或阻塞；(5)假设雨开始下时槽内有雨水深度0．O1m。¬符号说明：有关的因素因素类型符号数值单位降水强度变量vm/s时间变量ts房顶的倾斜度参数弧度房顶的长度参数a12m房顶的宽度参数b6m水槽的半径参数r0.075m水槽中的水深参数hm水槽中的水的容量变量Vm流入水槽的流速变量流出水槽的流速变量排水管直径参数d0.1重力加速度常数g9.8m/s雨水流图2屋顶雨水流动示意图3．建立模型h水图3水槽截面示意图考察水槽能否及时排掉从屋顶流下的雨水，就是研究水槽中的水深与时间的函数关系。水槽中的水的容量的变化率=雨水流入水槽

3、的流速-流出水槽的流速，即,其中，分别为单位时间排水系统的流入水槽和流出水槽的雨水流量。房顶的面积是ab，由于房顶是倾斜的，如图2所示，屋顶实际受雨的面积是，根据假设（1），屋顶上雨水的流速是，由于雨水是沿倾斜的房顶流下的，所以流入水槽的流速应该是在竖直方向的分量，直接落入水槽的雨形成的雨的流量是,即。水槽中水的深度h

4、.075m的稳定值，即时。将代入上述模型，得到h(t)=899209.148v^2当h(t)<=0.075时，解得v<=0.00028802由此得到，当v<=0.00028802m/s时，水不溢出；当v>0.00028802m/s时，水溢出。下面，用matlab对这一结论进一步分析。不妨取v=0.0002、0.000288分别代入方程（*）求其数值解，并作出图形：编写a.m文件：functionhp=a(t,h1)hp=(1.374038*0.0002-0.001449*sqrt(h1))/sqrt(0.15*h1-h1^2);functionhp=b

5、(t,h2)hp=(1.374038*0.0003-0.001449*sqrt(h2))/sqrt(0.15*h2-h2^2);执行matlab程序：>>[t,h1]=ode45('a',[0,60],0.01);>>plot(t,h1)>>[t,h2]=ode45('b',[0,60],0.01);plot(t,h2)我国气象部门规定24h降水量在200mm以上（约0.000002m/s）的雨为特大暴雨。对于这种情形，v>0.00028802m/s即24h降水量在24884.9mm以上的强降雨机率几乎为0，因此，这个公司的承诺是能兑现的。（2）若为周

6、期函数，不妨设为正弦函数，即：这表明下雨过程是在60s内发生的一个短促的强阵雨过程，最大的降雨强度是0.00001m/s,由方程（*）得到如下微分方程：运用matlab求数值解：编写shuicao.m文件：functionf=shuicao(t,h)f=(0.000412*sin(pi*t/60)-0.001449*sqrt(h))/sqrt(0.15*h-h^2);执行matlab程序：>>[t,h]=ode45('shuicao',[0,60],0.01);>>plot(t,h)从图中可以看出，h(t)的最大值不会超过0.075m，因此，对于第（2

7、）种情况，水槽的水也不会溢出，这个公司的承诺是能兑现的。5．模型的改进基于长时间特大暴雨的考虑，可做如下两种改进：(1)增大排水管的横截面积，即增大排水管的直径d。(2)改变水槽的连接方式，让水槽往屋檐倾斜一定角度，这相当于增加水槽的容水高度。