4、槽中水的体积为:有图3有:cos有sin2=2(a-h)把(3)式代入(1)式得:V(t)=a下面运用maple对(4)式中t求导[用v(t)表示]:根据能量守恒原理有:这样就得到模型:四:模型的求解与分析这是一个表达式比较复杂的微分方程的模型,直接求解很困难,因此,笔者通过求它的数值解来进行分析讨论。不妨取一组数值:a=0.075m,b=6m,d=12m,g=9.8m/s^2,A=0.0025πm2,A=π/6,h(0)=0.01m(假设槽内有一些积水)。下面,运用Maple求(7)的数值解。>针对房屋管理部门的要求,笔者考虑两种情况:(1)r
5、(t)=常数。先讨论水槽的深度趋于一个低于0.075m的稳定值,即=0。由此得到,当r=0.000305时,水不溢出;当r>0.000305时,水溢出。下面,笔者运用maple对这一结论作进一步分析。不妨取r=0.00021、0.000305、0.00031m/s分别代入方程eq中求其数值解,并作出h(t)的图形(图4~6)。>>由图4得知,r=0.00021m/s,h为t的增函数,h的最大值在0.035m附近;由图5得知,r=0.000305m/s,h为t的增函数,h的最大值为0.074m附近;由图6得知,r=0.00031m/s,h为t的增函
6、数,h的最大值超过0.075m。由于各地具体情况不同,各地气象预报部门对于当地各类降水的标准也有些自己的规定。一般而言,当地气象部门规定24h降水量在60mm以上的雨为特大暴雨。对于r(t)=常数这种情形,r>0.000305m/s的强降雨机率几乎为0,因此,这个公司的承诺是能兑现的。(2)r(t)为周期函数,不妨设为正弦函数,即:这表明下雨过程是在60s内发生的一个短促的强震雨行为,最大的降雨强度是0.000001m/s,由方程eq得到如下的微分方程:同理,运用上面的数值解法,可得到h(t)的图7。从图7可以看出,h(t)的最大值不会超过0.0
7、75m,因此,对于第2种情形,水槽的水也不会出现溢出的情况,这个公司的承诺可以兑现。五:模型的优化与改进基于长时间特大暴雨的考虑,可做以下两种改进:(1)增大排水管的横截面积A,即增大排水管的半径。当排水管半径增大为0.056m,对于模型的第1种情形,r[0.00036m/s,水槽的水不会出现溢出的情况。图8是h(t)随时间t变化的形。h(t)的最大值不会超过0.07m。对于模型的第2种情形,水槽的水不会溢出。图9是h(t)随时间t变化的图形。h(t)的最大值不会超过0.01m。2)改变水槽的连接方式,如图10,让水槽往屋檐倾斜一定角度,这相当于
8、增加水槽的容水高度。图9改进后的h随t变化示意