第9讲：变倍问题

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1、第8讲变倍问题专题简介1、所谓“变倍问题”，是指两个数量之间的倍数关系，随着一个或者两个数量的增加或者减少而发生改变的一类应用题。解答“变倍问题”一般要用到这样一个规律：甲数是乙数的n倍，如果乙数增加或者减少ｍ,那么甲数就要增加或者减少mn，才能使甲数仍是乙数的n倍。2、变倍问题牢固树立抓“不变量”的思想，变倍问题中的不变量，一般有三类，如下：①“甲是乙的2倍，甲是丙的3倍”——不变量是甲②“甲是乙的3倍，甲给乙2，甲变成乙的2倍”——不变量是甲、乙之和（给来给去和不变）③“甲是乙的3倍，甲、乙都减少2，甲变成乙的4倍”——不变量是甲、乙之差（同增同减差不变）3、解题方法：图像法、假设法

2、例题精讲一、图像法例1、有甲、乙二人，今年甲的年龄是乙的5倍。22年后，甲的年龄比乙的年龄的2倍少16岁。今年甲、乙二人各多少岁？分析：根据题意画出如右的线段图：如果乙今年的年龄是一倍量，那么乙在22年后的年龄就是一倍量多22岁，甲22年后的年龄就是5倍量多22岁。甲的年龄比乙的年龄的2倍少16岁，我们画出乙的2倍：同样，再去掉两个人的相同部分：这时，甲剩下3倍量，乙剩下6岁，由此可得，一倍量为6÷3=2岁。所以，乙今年的年龄为2岁，甲今年的年龄就是2×5=10岁。【练习一】1、7年前张老师的年龄是王英的21倍，11年后张老师的年龄是王英的3倍，问今年张老师和王英各多少岁？分析：用画线段

3、的方法来解答比较直观。先画出7年前的情况：7年前到11年后，一共经过了7＋11＝18（年），这18年中王英增长了18岁，张老师的年龄也增长了18岁。在上图的基础上添加画出11年后的情况：11年后张老师的年龄是王英的3倍，即王英的3倍长应该和张老师的一样长。因此，我们将代表王英年龄的线段再画出2个一样的，并使得它和代表张老师年龄的线段对齐。然后将两人相同部分同时去掉，这时我们可以看到，王英还剩下2个18岁长的线段，张老师还剩下21－3=18倍线段。他们两个的剩下部分相等，说明18倍量就等于2个18岁，即36岁。所以，一倍量为18×2÷18＝2（岁）。那么，2×21＝42（岁），2＋7＝9（

4、岁），42＋7＝49（岁）。2、已知小白兔储藏的胡萝卜数量是小黑兔储藏数量的3倍。小白兔吃了13个胡萝卜，小黑兔吃了3个胡萝卜后，小白兔与小黑兔所剩的胡萝卜的个数相同。求小白兔和小黑兔原来储藏胡萝卜多少个？　分析：用线段图表示题目里的已知条件和所求问题。　　从图上可以看出，小白兔吃了13胡萝卜，小黑兔吃了3个胡萝卜后，小黑兔与小白兔所剩胡萝卜的个数一样多，也就是说原来小白兔比小黑兔多13-3=10（个）胡萝卜，正好是小黑兔储藏胡萝卜的（3-1）倍，把10个胡萝卜平均分成2份，每份就是小黑兔储藏胡萝卜的个数，然后可以求出小白兔储藏胡萝卜的个数。　　解：（13-3）÷（3-1）+3=8（个）

5、••••••小黑兔，8×3=24（个）••••••小白兔二、假设法例2、师生二人，今年老师的年龄是学生的4倍。5年后，老师的年龄是学生的3倍。今年师生二人各多少岁？分析一：今年老师的年龄是学生的4倍。5年后，学生的年龄增加5岁,这时如果老师的年龄增加5×4岁，那么老师的年龄仍将是学生的4倍。而实际上，老师的年龄只增加5岁，比假设少增加（5×4-5）岁，也就少了学生5年后年龄的（4-3）倍。因此学生5年后的年龄是（5×4-5）÷（4-3）=15（岁），那么学生今年是15-5=10（岁），老师今年是10×4=40（岁）。注：上面的解题是依照题目中条件出现的先后顺序按照由前向后发展的思路展开的

6、，我们称之为“正顺序顺向思维”。若用“反顺序逆向思维”(按照由后向前还原的思路展开)解答变倍问题则会显得更简便。分析二：5年后，老师的年龄是学生的3倍。在此基础上，如果学生再减去5岁，老师再减去5×3岁，那么学生的年龄等于原来年龄，老师的年龄比原来减少（5×3-5）岁，此时老师的年龄仍是学生的3倍。而实际上，老师的年龄是学生的4倍。故知：（5×3-5）岁是学生今年年龄的（4-3）倍。因此学生今年是（5×3-5）÷（4-3）=10（岁），那么老师今年是10×4=40（岁）。此题还可以用“抓不变量”的方法来解。分析三：因为今年与5年后，师生二人的年龄差不变，所以可以把这个年龄差转化为“标准量

7、”。而今年学生的年龄是这个年龄差的1/（4-1），5年后学生的年龄是这个年龄差的1/（3-1）。故知：5岁是这个年龄差的（1/（3-1）-1/（4-1））。因此这个年龄差是5÷〔1/（3-1）-1/（4-1）〕=30（岁）。那么学生今年是30×1/（4-1）=10（岁），而老师今年是10×4=40（岁）。【练习1】1、苹果的个数是梨子的3倍，如果苹果加上6个，梨子也加上6个，此时苹果个数是梨子的2倍，问:原来苹果、梨子各多少个？ 2