b弹性力学有限元法基本原理二

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1、第三单元弹性力学有限元法基本原理（二）第一节有限元解的性质和收敛准则1、有限元解的收敛准则有限单元法作为连续问题的数值解法可以看作里兹法的一种特殊形式，即采用分片试探函数（假定位移场）的里兹法。前面通过受轴向力杆的里兹法求解，已经指出里兹解收敛必须满足的条件：除了满足连续性和边界约束之外，试探函数还必须是完备的，即包含完全的低阶多项式。对于有限元法，解的收敛除了里兹法意义上的收敛外，显然，当单元尺寸趋于零（h→0)时，有限元解应该趋于问题的精确解。这就是通常意义上有限元解收敛的涵义（h-收敛）。事实上，有限元位移法中，在一个单

2、元内用完全多项式逼近实际位移场，当单元尺寸趋于零时，如果整体位移试探函数还满足连续性要求，那么在满足最小势能原理的情况下，整个系统的势能泛函将趋于它的精确值——最小值。在每一单元内位移及其导数将趋于它的精确值（常数），有限元解就趋于精确解，即解是收敛的。根据以上分析，对弹性力学有限元法，为了使有限元解收敛，单元（一维杆，二、三维实体元）的构造必须满足下列要求：每个单元的位移模式必须包含完全一次多项式。位移模式在单元边界之间连续（C0连续）。单元网格在边界上受到均匀载荷，单元上的有限元解应该具有一致的均匀值。上述要求可以概括为两

3、个收敛准则：准则1：完备性要求对弹性力学问题，单元位移模式必须包含一次完全多项式。满足上述要求的单元称为完备单元。除了完备性，位移模式还有连续性的要求。采用多项式作为位移函数，单元内部的连续性自然得到满足，因此，要求位移在相邻单元边界上满足连续性，这导致另一个收敛准则。准则2：协调性要求对弹性力学问题，位移试探函数在单元交界面上必须具有C0连续性（函数值连续）。满足上述要求的单元称为协调元。理论上可以证明，同时满足完备性和协调性的单元一定收敛。但协调性不是收敛的必要条件，某些具有非协调位移模式的单元只要满足一定条件也是收敛的。

4、2、对收敛性和收敛准则的理解根据前面分析，对于有限元位移法，有两个途径得到不断逼近精确解的有限元解序列：第一，网格不变，不断增加位移模式多项式的阶数；第二，单元位移模式不变，不断增加单元数，即单元尺寸趋于零。通常所指有限元解的收敛性是第二种情况。关于有限元解的收敛性和收敛准则，数学家已经给出严格的证明。下面以弹性力学问题为例从物理概念上进行理解。准则1中的完备性要求，就是要求单元位移模式具有描述单元刚体位移和常应变的能力。如果位移模式没有包含完全一次多项式，单元就不可能出现刚体位移和常应变位移状态。对于正常的有限元解，一个单元

5、内部位移场是在相邻的其它单元位移——刚体位移基础上，迭加本单元弹性变形产生的位移场组成。同时一个单元内的应变场是由当地的某个“基本常应变”值迭加本单元内部应变的变化组成。当单元尺寸趋于零时，单元中的位移和应变应该就是结构中该点上的刚体位移和基本常应变。因此，只有满足准则1才能使有限元解具有上述特性，收敛到真正解。准则2的协调性要求是连续体力学问题的必然要求。它是最小势能原理和里兹法的前提条件。有限元法作为里兹法的特殊形式必然要满足这个要求。有限元的协调性要求在整个弹性体区域上的体现就是试探位移场必须满足的连续性条件。事实上，如

6、果单元尺寸趋于零时，单元交界面上位移不连续，则有限元模型模拟的就不可能是原来的连续结构，获得的有限元解就不可能收敛到问题的真正解。在有限元法中，一般在粗网格下单元要满足协调性要求。如果某单元在粗网格下不满足协调性，但随着单元尺寸减小，不协调性趋于消失，同时满足完备性，则该单元也能收敛。不难证明，3节点三角形单元满足完备性准则和协调性准则。3、收敛速度、精度及其意义如果单元位移模式满足完备性和协调性，则当单元尺寸趋于零时，有限元解趋于精确解。根据里兹法的原理，如果单元的位移插值多项式能够精确拟合真正解，则很粗糙的单元划分就能得到

7、精确的解答。比如，假设位移精确解是二次函数，而单元位移模式包含了完全二次多项式，则有限元解一定是精确的。对于一般的实际位移场，一点附近的位移可以展开为Taylor级数。根据前面结论，在一个单元范围内，有限元解可以拟合实际位移的低阶成分，而忽略的高阶成分就是误差。设单元直径是h，单元位移模式包含p阶完全多项式，则它可以在单元上拟合实际位移Taylor展开中的前p阶。因此有限元位移解的误差是，这只是一种量级的估计，不反映误差的绝对数值，但可以反映收敛速度。例如，3节点三角形单元，位移模式是线性的，所以位移的误差估计是，也可以说该单

8、元的收敛速度是量级。即，如果把有限元网格细化，单元尺寸减半，则有限元位移解的误差大约是前一种网格的(1/2)2=1/4。显然，该单元应变、应力解的收敛速度是量级。实际工作中，往往需要对误差作出具体估计，对于一般的实际问题，可采取下列办法：（1）用相近的有已知解析解的问题做有限