四、 弹性力学有限元法基本原理(三).ppt

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1、第一节空间问题的有限单元前面讨论了有限元法解弹性力学平面问题和轴对称问题的基本原理和列式，以及几种高精度二维单元。包括轴对称在内的二维问题具有非常重要的意义，但是在工程实际中，更大量的问题是复杂的三维问题，且不可能求得理论解。上述有限元位移法基本原理可以自然地推广到三维问题。首先以空间常应变四面体单元为例讨论三维有限元构造原理。第四单元弹性力学有限元法基本原理（三）一、常应变四面体单元1、位移模式该单元的几何和局部节点编号如图4-1所示。对三维问题，每节点有三个位移分量，单元有4个节点共12个自由度。图4-1空间四面体单元因此，单元内每个位移分量设为x，y，z坐标的一次多项式：用3节点三角形

2、单元中同样的插值过程，进行广义坐标替换，得到该单元用节点位移作广义坐标的位移模式：形函数：其形函数表达式与3节点三角形单元形函数形式相似。位移模式的矩阵形式为：该单元的线性位移模式能保证单元3个节点的公共边界（三角形）上位移的协调，因此是协调单元，单元的收敛性得到保证。2、应变矩阵三维问题有6个应变分量，因此单元的应变表达式中的应变矩阵为6×12。应变矩阵的元素为常数，因此也称为常应变单元。3、单元刚度矩阵由三维弹性力学问题离散总势能表达式得出三维单元刚度矩阵，并考虑到应变矩阵为常量：4、单元等效节点力计算方法二、六面体单元简介平面问题的矩形单元推广到空间问题中就是六面体单元，一般可以取为8

3、节点和20节点两种，如图4-2所示。为了能在总体坐标系下建立单元列式，须要限制单元几何为平行于总体直角坐标系的长方体。因此，该单元的局限性与二维问题的矩形单元相同。图4-2六面体单元两种形式的单元位移多项式包含的项分别为：该单元位移模式及其形函数的构造可采用根据形函数性质直接构造插值函数的方法。或从对应的二维单元进行推广，再用形函数性质进行验证。为了突破这类单元几何上的限制，得到实用的单元，必须引入等参变换。第二节等参单元问题的提出第二是单元几何上的限制。单独使用矩形或长方体单元都不能模拟任意形状几何体，且网格中单元大小无法过渡。所有上述单元都是直线边界，处理曲边界几何体误差较大。从前面介绍

4、的各种二、三维单元看出，这些单元可能有两个方面的约束：第一是单元的精度，显然单元的节点数越多，单元精度越高。因此在这一点上，矩形单元优于简单三角形单元，六面体单元优于四面体单元；任意四边形和任意六面体单元的位移模式和形函数的构造不能沿用前面构造简单单元时采用的总体坐标多项式位移函数插值的方法，必须通过所谓的等参变换建立单元局部坐标，采用相同的插值函数对单元节点的总体坐标和节点位移在单元上进行插值。这类单元称为等参单元。等参单元的提出对于有限元法在工程实践中的应用具有重要意义。解决上述矛盾的途径是突破矩形单元和长方体单元几何上的限制，使其成为平面任意四边形和空间任意六面体单元，如果再增加边中间

5、节点，还可以成为曲边四边形和曲面六面体高精度单元。一、等参单元的概念图4-3为一个4节点任意四边形单元（Q4），单元有8个自由度。将矩形单元放松为4节点任意四边形单元将带来许多好处。但在建立单元位移模式时产生了新的问题：1）单元上没有一个如矩形单元的简单直接的局部坐标系；2）不能直接用x，y坐标系下的双线性位移模式（位移沿边界二次变化，不满足协调性）。图4-34节点任意四边形单元及其母单元因此需要在任意四边形单元上建立一种新的非正交局部坐标系ξ-η（如图），使得每条边有一个局部坐标为常数（±1），则在ξ-η坐标平面内，原任意四边形单元变为一个边长为2的正方形。同时，该局部坐标系的建立在x-y

6、平面上的任意四边形单元与ξ-η平面上的正方形之间形成了一个1-1对应的映射（每个点有唯一的互相对应）。称ξ-η平面上的正方形单元为基本单元或母单元。x-y平面上的任意四边形单元称为实际单元或子单元。显然，母单元节点对应不同的x，y坐标就可以得到不同大小、形状和方位的任意四边形实际单元。建立了局部坐标系或映射后，我们只需要在ξ-η平面上的母单元中描述实际单元的位移模式和力学特性。那么，任意四边形单元在母单元中的位移模式（或者称为ξ-η坐标系下的位移模式）是与矩形单元一样的双线性函数：(i=1,2,3,4)其中，形函数为：上述位移模式关于x，y坐标不是双线性函数，但能保证位移沿实际单元边界线性变

7、化，从而保证单元的协调性。为了得到上述映射的数学表达式，引入在母单元上x，y坐标插值的思想：母单元上任意一点（ξ，η）在实际单元中映射点的x，y坐标通过对母单元节点对应子单元节点的x，y坐标插值得到，通常采用与位移插值相同的插值函数，从而得到如下坐标变换式：(i=1,2,3,4)这样就得到了一个真实的数学映射。只要证明该映射确实把母单元映射成为实际单元，就是所需要的映射。而事实上正是如此。上述映射是利用母单元