lecture8基本集合恒等式

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1、一．广义交和广义并定义6.10设A为集合，A的元素的元素构成的集合称为A的广义并，记为∪A。符号化表示为∪A＝{x

2、z(z∈A∧x∈z)}。例6.4设A＝{{a,b,c},{a,c,d},{a,e,f}}B＝{{a}}C＝{a,{c,d}}则∪A＝{a,b,c,d,e,f}∪B＝{a}∪C＝a∪{c,d}∪ф＝ф根据广义并定义不难证明，若A＝{A1,A2,…,An}，则∪A＝A1∪A2∪…∪An。定义6.11

3、设A为非空集合，A的所有元素的公共元素构成的集合称为A的广义交，记为∩A。符号化表示为∩A＝{x

4、z(z∈A→x∈z)}考虑例6.4中的集合，有∩A＝{a}，∩B＝{a}，∩C＝a∩{c，d}对于空集ф可以进行广义并，即∪ф＝ф。但空集ф不可以进行广义交，因为∩ф不是集合，在集合论中是没有意义的。和广义并类似，若A＝{A1,A2,…,An}，则∩A＝A1∩A2∩…∩An。为了使得集合表达式更为简洁，我们对集合运算的优先顺序做如下规定：称广义并，广义交，幂集，绝对补运算为一类运算，并，交，

5、相对补，对称差运算为二类运算。一类运算优先于二类运算。一类运算之间由右向左顺序进行。二类运算之间由括号决定先后顺序。基本集合恒等式幂等律A∪A＝A(6.1)A∩A＝A(6.2)结合律(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)(6.3)(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)(6.4)交换律A∪B＝B∪A(6.5)A∩B＝B∩A(6.6)分配律A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)(6.7)A∩(B∪C

6、)＝(A∩B)∪(A∩C)(6.8)同一律A∪ф＝A(6.9)A∩E＝A(6.10)零律A∪E＝E(6.11)A∩ф＝ф(6.12)排中律A∪～A＝E(6.13)吸收律A∪(A∩B)＝A(6.15)A∩(A∪B)＝A(6.16)德摩根律A－(B∪C)＝(A－B)∩(A－C)(6.17)A－(B∩C)＝(A－B)∪(A－C)(6.18)～(B∪C)=～B∩～C

7、(6.19)～(B∩C)=～B∪～C(6.20)～ф＝E(6.21)～E＝ф(6.22)双重否定律～(～A)＝A(6.23)矛盾律A∩～A＝ф(6.14)证明技巧一除了以上算律以外，还有一些关于集合运算性质的重要结果。例如：A∩BA，A∩BB(6.24)AA∪B，BA∪B(6.25)A－BA(6.2

8、6)A－B＝A∩～B(6.27)例6.10证明(A－B)∪B＝A∪B证(A－B)∪B＝(A∩～B)∪B＝(A∪B)∩(～B∪B)＝(A∪B)∩E＝A∪B证明技巧二A∪B＝B<=>A∩B＝A<=>A－B＝ф(6.28)例6.12化简((A∪B∪C)∩(A∪B))－((A∪(B－C))∩A)。解因为A∪BA∪B∪C，AA∪(B－C)，由式6.28有((A∪B∪C)∩(A∪B))－

9、((A∪(B－C))∩A)＝(A∪B)－A=B－A证明技巧三AB＝BA(6.29)(AB)C＝A(BC)(6.30)Aф＝A(6.31)AA＝ф(6.32)AB＝AC=>B＝C(6.33)例6.13已知AB＝AC，证明B＝C。证已知AB＝AC，所以有A(AB)＝A(AC)=>(AA)B＝(AA)C(由式6.30)

10、=>фB＝фC(由式6.32)=>Bф＝Cф(由式6.29)=>B＝C(由式6.31)学习要求1.熟练掌握集合的子集、相等、空集、全集、幂集等概念及其符号化表示2.熟练掌握集合的交、并、（相对和绝对）补、对称差、广义交、广义并的定义及其性质3.掌握集合的文氏图的画法及利用文氏图解决