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1、MATLAB数值积分与微分数值积分数值微分数值积分基本原理求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。数值积分的实现方法1．变步长辛普生法基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的
2、下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。例求定积分。(1)建立被积函数文件fesin.m。functionf=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);(2)调用数值积分函数quad求定积分。[S,n]=quad('fesin',0,3*pi)S=0.9008n=772．牛顿－柯特斯法基于牛顿－柯特斯法，MATLAB给出了quad8函数来求定积分。该函数的调用格式为：[I,n]=qua
3、d8('fname',a,b,tol,trace)其中参数的含义和quad函数相似，只是tol的缺省值取10-6。该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。例求定积分。(1)被积函数文件fx.m。functionf=fx(x)f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x));(2)调用函数quad8求定积分。I=quad8('fx',0,pi)I=2.4674例分别用quad函数和quad8函数求定积分的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。调用函数quad求定积分：
4、formatlong;fx=inline('exp(-x)');[I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10)I=0.28579444254766n=65调用函数quad8求定积分：formatlong;fx=inline('exp(-x)');[I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10)I=0.28579444254754n=333．被积函数由一个表格定义在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X,Y定义函数关系Y=f(X)。例用trapz函数计算定积分。命令如下：X=1:0.01:2.5;Y=exp(
5、-X);%生成函数关系数据向量trapz(X,Y)ans=0.28579682416393humps函数quad(@humps,0,1,1.e-4)例ans=29.8581symsxh=1/((x-.3)^2+.01)+1/((x-.9)^2+.04)-6I=int(h)D=simple(int(h,0,1))Qexact=double(D)fork=1:12tol=10^(-k);[Q,fcount]=quadtx(@humps,0,1,tol);err=Q-Qexact;ratio=err/tol;fprintf('%8.0e%21.14f%7d%13.3e%9.3f
6、n',...tol,Q,fcount,err,ratio),endtolQcounterrratio1e-00129.8332844417486425-2.504e-002-0.2501e-00229.8579144462994841-4.109e-004-0.0411e-00329.85834299237637691.760e-0050.0181e-00429.8583244443754393-9.511e-007-0.0101e-00529.858325515486431491.200e-0070.0121e-00629.858325401940412656.442e-
7、0090.0061e-00729.85832539499819369-5.005e-010-0.0051e-00829.858325395526316052.763e-0110.0031e-00929.858325395496041061-2.640e-012-0.0031e-01029.8583253954989014692.274e-0130.0021e-01129.858325395498672429-7.105e-015-0.0011e-01229.8583253954986742450.000e+0000
