实变函数试题库1及参考答案

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1、实变函数试题库及参考答案（1）本科一、填空题1．设为集合，则（用描述集合间关系的符号填写）2．设是的子集，则（用描述集合间关系的符号填写）3．如果中聚点都属于，则称是4．有限个开集的交是5．设、是可测集，则（用描述集合间关系的符号填写）6．设是可数集，则7．设是定义在可测集上的实函数，如果，是，则称在上可测8．可测函数列的上极限也是函数9．设，，则10．设在上可积，则在上二、选择题1．下列集合关系成立的是（）2．若是开集，则（）3．设是上一列非负可测函数，则（）三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）1．设，则（）是不

2、可数集是闭集中没有内点2．设是无限集，则（）可以和自身的某个真子集对等（为自然数集的基数）3．设是上的可测函数，则（）函数在上可测在的可测子集上可测是有界的是简单函数的极限4．设是上的有界函数，且黎曼可积，则（）在上可测在上可积在上几乎处处连续在上几乎处处等于某个连续函数四、判断题1.可数个闭集的并是闭集.（）2.可数个可测集的并是可测集.（）3.相等的集合是对等的.（）4.称在上几乎处处相等是指使的全体是可测集.（）五、定义题1.简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合.2.简述点集的边界点，聚点和内点的关系.3.简

3、单函数、可测函数与连续函数有什么关系？4.上单调函数与有界变差函数有什么关系？六、计算题1.设，其中为中有理数集，求.2.设为中全体有理数，，求.七、证明题1．证明集合等式：2．设是中的无理数集，则是可测集，且3．设是上的可测函数，则是可测集4．设是上的可测函数，则对任何常数，有5．设是上的可积函数，是的一列可测子集，且，则实变函数试题库及参考答案（1）本科一、填空题1.=2.3.闭集4.开集5.6.=7.可测集8.可测9.10.可积二、单选题ABB三、多选题ACDABABDABC四、判断题×√√√五、定义题1.答：因为任何

4、无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合，的幂集的基数大于的基数.2.答:内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点.3.答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限4.答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差.六、解答题1.解：因为，所以于，于是，而在上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系，因此.2.解：显然在上可测，另外由定义知，于所以因此七、证明题1.证明2

5、.证明设是中的有理数集，则是可数集，从而，因此是可测集，从而可测，又，故是可测集.由于，所以，故3.证明设为全体有理数所成之集，则因为是上的可测函数，所以，是可测集，，于是由可测集性质知是可测集4.证明因为在上可测，所以在上非负可测，由非负可测函数积分性质，而，所以5.证明因为，所以，当时，，又在上可积，所以由积分的绝对连续性，当时于是当时，，因此，即