实变函数试题库(4)及参考答案.docx

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1、实变函数试题库及参考答案（4）本科一、填空题1.设为两个集合,则.2.设,如果满足(其中表示的导集),则是3.若开区间为直线上开集的一个构成区间,则满(i)(ii)4.设为无限集.则的基数(其中表示自然数集的基数)5.设为可测集,,则.6.设为可测集上的可测函数列,且,则由______定理可知得,存在的子列,使得.7.设为可测集()上的可测函数,则在上的积分值存在且在上可积.（填“一定”“不一定”）8.若是上的绝对连续函数,则是上的有二、选择题1．设，则（）是中闭集是中完备集2．设，是上的可测函数，则（）、不一定是可测集、是可测集、是不可测集、不一定是可测集3．下列集合关系成立的是（）A

2、、　B、　C、　　　D、4.若是开集，则（）A、的导集B、的开核C、D、的导集三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）1．设是上有界函数，且可积，则（）在上黎曼可积在上可测在上几乎处处连续在上不一定连续2.设,则()A、是可数集　B、是闭集　C、中的每个点均是聚点　D、3.　若()至少有一个内点，则（）A、可以等于０B、　C、可能是可数集　D、不可能是可数集4．设是可测集，则的特征函数是（）A、上的符号函数　　C、上的连续函数B、上的可测函数D、上的连续函数四、判断题1.零测集上的函数是可测函数.（）2.可列个闭集的并集仍为闭集（）3.任何无限集均含有一个可列子集（）4.设为可测集

3、，则一定存在集，使，且.（）五、定义题1.为什么说有界变差函数几乎处处可微？2.简述无穷多个开集的交集是否必为开集？3.可测集上的可测函数与简单函数有什么关系？4.上的有界变差函数与单调函数有什么关系？六、计算题7.设，为康托集，求.8.求.七、证明题1．设是上几乎处处有限的可测函数，且，，则2．设是上可积函数，则在上也是可积的3．设是可测集上的非负可测函数，如果，则于4．证明等式：实变函数试题库及参考答案（4）本科一、填空题1.等于2.闭集.3.4.5.6.黎斯7.不一定不一定8.界变差函数.二、单选题1.B2.B3.A4.B三、多选题1.BD2.CD3.BD4.ABC四、判断题√×√

4、√五、定义题1.答：由若当分解定理，有界变差函数可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处可微，所以有界变差函数几乎处处可微.2.答：不一定，如3.答：简单函数必是可测函数但可测函数不一定是简单函数，可测函数一定可表示成简单函数列的极限形式.4.答：单调函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为单调函数，有界变差函数可表示成单调函数之差.六、解答题1.解：因为，所以于于是而在上连续，所以因此.2.解：令显然在上可测，且因为不难验证，当足够大时，是单调递减非负函数，且，所以由勒贝格控制收敛定理故.七、证明题1.证明对任何正数，由于所以于是故2.证明因是上可积，所以在上可积，从而可积，又

5、故在上可积3.证明反证，令，则由的可测性知，是可测集.下证，若不然，则由于，所以存在，使于是因此，矛盾，故于4.证明