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1、限时作业30 数列的综合应用一、选择题1.设{an},{bn}分别为等差数列与等比数列,a1=b1=4,a4=b4=1,则下列结论正确的是( ). A.a2>b2B.a3b5D.a6>b62.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S9=-36,S13=-104,等比数列{bn}中,b5=a5,b7=a7,则b6的值为( ).A.±4B.-4C.4D.无法确定3.在单位正方体ABCD-A1B1C1D1中,黑、白两只蚂蚁均从点A出发,沿棱向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段”,白
2、蚂蚁的爬行路线是AA1→A1D1→D1C1→…,黑蚂蚁的爬行路线是AB→BB1→B1C1→…,它们都遵循以下的爬行规则:所爬行的第i+2段与第i段所在的直线必为异面直线(其中i为正整数),设黑、白蚂蚁都爬完2012段后各自停止在正方体的某个顶点处,则此时两者的距离为( ).A.1B.C.D.04.已知数列{an},{bn}满足a1=1,且an,an+1是函数f(x)=x2-bnx+2n的两个零点,则b10等于( ).A.24B.32C.48D.645.(2011湖北高考,文10)若实数a,b满足a≥0,b≥0,且ab=
3、0,则称a与b互补.记φ(a,b)=-a-b,那么φ(a,b)=0是a与b互补的( ).A.必要而不充分的条件B.充分而不必要的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件6.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为(n∈N*)元,使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少),一共使用了( ).A.600天B.800天C.1000天D.1200天二、填空题7.定义运算:=ad-bc,若数列{an}满足=1且=12(n∈N*),则a3=
4、 ,数列{an}的通项公式为an= . 8.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知am-1+am+1-=0,S2m-1=38,则m= . 9.设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0,则d的取值范围是 . 三、解答题10.某人有人民币1万元,若存入银行,年利率为6%;若购买某种股票,年分红24%,每年储蓄的利息和买股票所分的红利都存入银行.(1)问买股票多少年后,所得红利才能和原来的投资款相等?(2)经过多少年,买股票所得的红利与储蓄所拥
5、有的人民币相等?(精确到整年)(参考数据:lg2≈0.3010,lg3≈0.4771,lg1.06≈0.0253)11.已知函数f(x)=m·2x+t的图象经过点A(1,1),B(2,3)及C(n,Sn),Sn为数列{an}的前n项和.(1)求an及Sn;(2)若数列{cn}满足cn=6nan-n,求数列{cn}的前n项和Tn.12.(2011江西高考,文21)(1)已知两个等比数列{an},{bn},满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3,若数列{an}唯一,求a的值.(2)是否存在两个等
6、比数列{an},{bn},使得b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4成公差不为0的等差数列?若存在,求{an},{bn}的通项公式;若不存在,说明理由.##参考答案一、选择题1.A 2.A 3.B 4.D 5.C 6.B 解析:由第n天的维修保养费为(n∈N*)元,可以得出观测仪的整个耗资费用,由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n的值.设一共使用了n天,则使用n天的平均耗资为=++,当且仅当=时取得最小值,此时n=800,故选B.二、填空题7.10 4n-2 8.10 9.d≤-2或d≥2解析:由S5S6+15
7、=0,得·+15=0.整理可得2+9a1d+10d2+1=0.∵a1,d为实数,∴Δ=(9d)2-4×2×(10d2+1)≥0,解得d≤-2或d≥2.三、解答题10.解:设该人将1万元购买股票,x年后所得的总红利为y万元,则y=24%+24%(1+6%)+24%(1+6%)2+…+24%(1+6%)x-1=24%(1+1.06+1.062+…+1.06x-1)=4(1.06x-1).(1)由题意,得4(1.06x-1)=1,∴1.06x=.两边取常用对数,得xlg1.06=lg=1-3lg2.∴x=≈≈4.(2)由题意,得
8、4(1.06x-1)=(1+6%)x,∴1.06x=.解得x≈5.答:(1)买股票4年后所得的红利才能和原来的投资款相等;(2)经过大约5年,买股票所得的红利与储蓄所拥有的人民币相等.11.解:(1)∵函数f(x)=m·2x+t的图象经过点A(1,1),B(2,3),则解得∴f(x)=2x-1,即Sn=
