[理学]高数函数的极限

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1、第二章二、自变量趋于有限值时函数的极限第三节自变量变化过程的六种形式:一、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容:机动目录上页下页返回结束函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限定义1.设函数大于某一正数时有定义,若则称常数时的极限,几何解释:记作直线y=A为曲线的水平渐近线机动目录上页下页返回结束A为函数两种特殊情况:当时,有当时,有机动目录上页下页返回结束例1.证明证:取因此注:就有故欲使即机动目录上页下页返回结束直线y=A仍是曲线y=f(x)的渐近线.几何意义:例如，都有水平渐近线都有水平渐近线又如，机

2、动目录上页下页返回结束二、自变量趋于有限值时函数的极限1.时函数极限的定义引例.测量正方形面积.面积为A)边长为(真值:边长面积直接观测值间接观测值任给精度,要求确定直接观测值精度:机动目录上页下页返回结束定义1.设函数在点的某去心邻域内有定义,当时,有则称常数A为函数当时的极限,或即当时,有若记作几何解释:极限存在函数局部有界这表明:机动目录上页下页返回结束例1.证明证:故对任意的当时,因此总有机动目录上页下页返回结束例2.证明证:欲使取则当时,必有因此只要机动目录上页下页返回结束例3.证明证:故取当时

3、,必有因此机动目录上页下页返回结束例4.证明:当证:欲使且而可用因此只要时故取则当时,保证.必有机动目录上页下页返回结束2.局部保号性定理定理1.若且A>0,证:已知即当时,有当A>0时,取正数则在对应的邻域上(<0)则存在(A<0)机动目录上页下页返回结束若取则在对应的邻域上若则存在使当时,有推论:分析:机动目录上页下页返回结束定理2.若在的某去心邻域内,且则证:用反证法.则由定理1,的某去心邻域,使在该邻域内与已知所以假设不真,(同样可证的情形)思考:若定理2中的条件改为是否必有不能!存在如假设A<0,条

4、件矛盾,故机动目录上页下页返回结束3.左极限与右极限左极限:当时,有右极限:当时,有定理3.机动目录上页下页返回结束例5.设函数讨论时的极限是否存在.解:利用定理3.因为显然所以不存在.机动目录上页下页返回结束三、极限的四则运算法则则有定理1.若机动目录上页下页返回结束推论:若且则利用保号性定理证明.说明:定理1可推广到有限个函数相加、减的情形.提示:令机动目录上页下页返回结束定理2.若则有说明:定理2可推广到有限个函数相乘的情形.推论1.(C为常数)推论2.(n为正整数)例1.设n次多项式试证证:机动目录上

5、页下页返回结束(详见P44)定理3.若且B≠0,则有机动目录上页下页返回结束x=3时分母为0!例3.设有分式函数其中都是多项式,试证:证:说明:若不能直接用商的运算法则.例4.若机动目录上页下页返回结束例4.求解:x=1时分母=0,分子≠0,但因机动目录上页下页返回结束例5.求解:时,分子分子分母同除以则分母“抓大头”原式机动目录上页下页返回结束一般有如下结果：为非负常数)机动目录上页下页返回结束四、复合函数的极限运算法则定理4.设且x满足时,又则有证:当时,有当时,有对上述取则当时故①因此①式成立.机动目录

6、上页下页返回结束定理4.设且x满足时,又则有说明:若定理中则类似可得机动目录上页下页返回结束例1.求解:令已知∴原式=机动目录上页下页返回结束例2.求解:方法1则令∴原式方法2机动目录上页下页返回结束二、两个重要极限一、函数极限与数列极限的关系及夹逼准则第五节机动目录上页下页返回结束极限存在准则及两个重要极限第二章一、函数极限与数列极限的关系及夹逼准则1.函数极限与数列极限的关系定理1.有定义,为确定起见,仅讨论的情形.有机动目录上页下页返回结束定理1.有定义,且设即当有有定义,且对上述,时,有于是当时故可

7、用反证法证明.(略)有证：当“”“”机动目录上页下页返回结束定理1.有定义且有说明:此定理常用于判断函数极限不存在.法1找一个数列不存在.法2找两个趋于的不同数列及使机动目录上页下页返回结束例1.证明不存在.证:取两个趋于0的数列及有由定理1知不存在.机动目录上页下页返回结束2.函数极限存在的夹逼准则定理2.且(利用定理1及数列的夹逼准则可证)机动目录上页下页返回结束圆扇形AOB的面积二、两个重要极限证:当即亦即时，显然有△AOB的面积＜＜△AOD的面积故有注注目录上页下页返回结束当时注例2.求解:例3.求解

8、:令则因此原式机动目录上页下页返回结束解:原式=例5.已知圆内接正n边形面积为证明:证:说明:计算中注意利用机动目录上页下页返回结束2.证:当时,设则机动目录上页下页返回结束当则从而有故说明:此极限也可写为时,令机动目录上页下页返回结束例6.求解:令则说明：若利用机动目录上页下页返回结束则原式例7.求解:原式=机动目录上页下页返回结束的不同数列内容小结1.函数极限与数列极限关系的应用(1)利用数列极