z变换的基本概念

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1、第10章离散控制系统10.1Z变换10.2Z逆变换10.3Z变换求差分方程10.4脉冲传递函数10.5有零阶保持器的开环脉冲传递函数10.6闭环脉冲传递函数10.7脉冲系统的稳定性分析10.1Z变换10.1.1采样器和保持器普通的采样器每间隔T秒钟开关闭合一次，使输入信号通过一次，即采样一次。采样器的功能是将连续信号转换成发生在采样瞬时刻0，T，2T，3T，…的一连串脉冲信号，保持器：能够将采样信号转换成连续信号，这个连续信号近似地重现采样器上的信号.最简单的零阶保持器，它能将采样信号转变成在两个连续采样瞬时之间保持常量的信号。图示为理想的单位脉冲

2、序列采样器可以看成是一个调制器，输入量作为调制信号，而单位脉冲串可以作为载波信号调制过程可以表示为在控制系统和工程实际应用中t<0时信号都为零即(t<0)因此10.1.2根据定义求Z变换z变换的定义进行Laplace变换令并将X*(s)改写成X(z)，则称X(z)为的z变换，并以表示的z变换因为在z变换中只考虑瞬时的信号，所以x(t)的z变换与x*(t)的z变换结果相同，即求Z变换的一般步骤为1)先求采样信号的Laplace变换，即2)将代入得Z[x(t)]。例1.试求单位阶跃函数的z变换。解：例2.求函数的z变换.解:查z变换表，的z变换为的z变

3、换为10.1.3留数定理求Z变换10.1.4Z变换的性质1.线性定理设则设函数x(t)的z变换为X(z)，并有极限存在则2.初值定理3.终值定理4.实数位移定理设x(t)的Z变换为X(z)，则滞后定理超前定理5.复数位移定理设x(t)的Z变换为X(z)，则10.2Z逆变换z逆变换记显然，z逆变换求出的是采样信号x*(t)，而不是连续信号x(t).确定离散控制系统时间响应要进行Z逆变换10.2.1逆变换公式已知Z变换为X(z)，则可以证明在t=kT瞬时的采样函数值x(kT)，可以用下式来确定。等号右边的积分可按留数定理来确定，其中S表示包围全部极点的

4、封闭曲线，即极点处的留数X(z)一般可以表示为两个有理多项式之比对X(z)直接做长除法，用分母去除分子，并将商按z-1的幂次排列上式的z反变换为Cn(n=0，1，2…..）即为x(t)在采样时刻t=nT时的值x(nT).10.2.2幂级数法求Z逆变换例10-18求的逆变换。解利用综合除法得将z变换函数X(z)展开成部分分式之和，然后查z变换表，求相应的x*(t)。考虑到z变换表中，X(z)在其分子上普遍有因子z，所以应将X(z)/z展开成部分分式，然后将所得结果的每一项都乘以z，即得X(z)的部分分式。10.2.3部分分式展开法例求的逆变换。解先将

5、X(z)/z展开成部分分式所以故查z变换表10.3Z变换求差分方程对于一个控制系统的差分方程，首先利用Z变换，将差分方程变换为以z为自变量，X(z)为因变量的代数方程，解出X(z)后再进行Z逆变换，即可得到x(k)的值。例10-22求下列差分方程的解式中解时代入方程得对差分方程进行Z变换，并考虑初始条件得故又注意x(0)=0故10.4脉冲传递函数1.脉冲传递函数的定义与求解离散控制系统的瞬态过程，其通用差分方程为两端取Z变换得故离散控制系统的传递函数为称为脉冲传递函数。脉冲传递函数的求法如下1.求出系统的传递函数G(s);2.求出脉冲响应函数3.计

6、算或求出系统传递函数G(s)后，将G(s)展开成部分分式之和，查Laplace变换与Z变换对应表，即可得到系统的脉冲传递函数。例已知某系统的传递函数为求系统的脉冲传递函数。解：将G(s)展开成部分分式之和得查表得2.串联开环系统的脉冲传递函数a.串联环节之间有理想开关分别为线性环节的脉冲传递函数，和所以串联环节的脉冲传递函数为被理想开关隔断的两个串联环节的开环系统，其脉冲传递函数等于两个串联环节各自的脉冲传递函数的乘积。这个结论可以推广到有n个理想开关隔开的n个环节串联的开环系统，这时，整个系统的开环脉冲传递函数等于每个环节的脉冲传递函数的乘积，即

7、b.串联环节之间没有理想开关设则开环脉冲传递函数为表示先乘积后进行z变换。两个线性环节相串联的开环系统，且环节之间无理想开关隔开时，开环系统的脉冲传递函数等于两个环节传递函数先乘积后再进行Z变换。显然，当有n个环节相串联，且环节之间无理想开关隔开时，此时系统开环脉冲传递函数等于n个环节传递函数先乘积后再进行Z变换，即通常即对于所有类似的系统，只要理想开关的位置不同，则它们的脉冲传递函数就不同。10.5有零阶保持器的开环脉冲传递函数有零阶保持器传递函数为：Ga(s)为系统其它连续部分的传递函数因为系统输出响应x0*(t)中包含两个分量：一个是输入采样

8、信号xi*(t)经过G2(s)所产生的响应x01*(t)，它所对应的z变换另一个是输入采样信号xi*(t)经过e-TsG2