[课件]概率2.1随机变量及分布函数

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1、一、随机变量§2.1随机变量及分布函数上述变量都定义在样本空间上,具有以下特点：(1)变量的取值由随机试验的结果来确定;(2)取各数值的可能性大小有确定的统计规律性.随机变量的实例01-九月-21上述变量称为随机变量,它可以完整地描述试验结果，从而可用量化分析方法来研究随机现象的统计规律性.随机变量的引进是概率论发展进程中的一次飞跃引进随机变量是将随机试验数量化，是对随机现象进行量化分析的重要手段.01-九月-21定义：设E的样本空间为W，对于每一个样本点w∈W，都有唯一实数X(w)与之对应,且对于任意实数x，事件{w

2、

3、X(w)≤x}都有确定的概率，则称X(w)为随机变量，简记为X.摸彩赌博例子注且使P{X≤x}总有意义.01-九月-211)将样本空间数值化、变量化(但不同于通常非随机变量)；随机变量的优越性2)可以完整地描述随机试验；3)可用微积分等数学工具来解决随机问题.二、分布函数从随机变量定义可见，对任一实数x都有实数P{w

4、X(w)≤x}与之对应，即构造了一个函数.01-九月-21定义设X是一个随机变量，x是任意实数，称函数F(x)=P{X≤x}=P{w:X(w)≤x},为随机变量X的分布函数,F(x)也记为FX(x).注1分

5、布函数F(x)的函数值表示事件“随机点X落在(－∞,x]内”的概率.OxXx01-九月-21注2F(x)的改变量DF=F(x+Dx)－F(x)=P{x

6、随机变量的分布函数，或用来求解分布函数.例如分布函数的确定01-九月-21E2测量某零件长度x和直径y产生的误差.E1抛一枚硬币,观察其出现正面H和反面T的情况.用Z表示抛一次硬币时出现正面的次数,则Z(H)=1，Z(T)=0.生的误差,则分别表示测量零件长度和直径产用和eXeY01-九月-21#用Y表示检查N件产品中的次品数，有E3检验N件产品中的次品Y(k)=k,k∈Ω3,Ω3={0,1,2,…,N}.E4用X表示人的身高,有X(x)=x,x∈Ω4=(0,＋∞)共同特点:以上变量都是定义在样本空间上的变量.01-九月

7、-21例1一个庄家在一个签袋中放有8个白、8个黑的围棋子.规定：每个摸彩者交一角钱作“手续费”，然后从袋中摸出五个棋子，按下面“摸子中彩表”给“彩金”.摸到五个白四个白三个白其它彩金2元2角5分共乐一次解用{i}表示“摸出的五个棋子中有i个白子”，则试验的样本空间为Ω={0，1，2，3，4，5}01-九月-21用Y(单位:元)表示赌徒摸一次得到的彩金，则有Y(i)=0，i=0，1，2Y(3)=0.05，Y(4)=0.2，Y(5)=2Y是定义在Ω上的随机变量,对于每一个i∈Ω,都有一个实数与之对应.并且01-九月-21对于

8、任意实数x，{X(ω)≤x}是一个随机事件，从而有确定的概率.例如彩金不到两元的概率接近99%.01-九月-21总结从本例中可看到，随机变量Y完整地描述了试验的全过程，而不必对每一个事件个别进行讨论.#进一步，可将微积分等数学工具用于对随机试验的分析.01-九月-21例2一袋中有依次标有-1、2、2、2、3、3数字的六个球，从中任取一球，试写出球上号码X的分布函数.解：由题意有当x<-1时,F(x)=P{X≤x}=P(f)=0.x1O-123xX01-九月-21当-1≤x<2时,F(x)=P{X≤x}=P{X=-1}=1

9、/6.x1O-123xX当2≤x<3时,F(x)=P{X≤x}=P{X=-1}+P{X=2}=2/3.x1O-123xX01-九月-21当3≤x时,F(x)=P{X≤x}=P{Ω}=1.x1O-123xX综上所述,可得01-九月-21x1O-123F(x)1是右连续的单调不降阶梯函数，在不连续点处的阶跃值恰为P{X=k},k=-1,2,3.#01-九月-21例3一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，射击均能中靶，用X表示弹着点与圆心的距离。试求X的分布函数.解由题意有当x<0时,F

10、(x)=P{X≤x}=P(φ)=0.当x≥2时,F(x)=P{X≤x}=P(Ω)=1.Xx01-九月-21当0≤x<2时,由题意知P{0