数值分析课件(第1章)

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1、使用教材:数值分析华南理工大学出版社韩国强林伟健等编著计算机专业基础课程:计算方法数值分析华南理工大学计算机学院林伟健制作本课程介绍的内容：使用计算机来解决某些数学问题的近似方法。《数值分析》目录第1章误差第2章代数插值与数值微分第3章数据拟合第4章数值积分第5章解线性代数方程组的直接法第6章解线性代数方程组的迭代法第7章非线性方程和非线性方程组的数值解第8章矩阵特征值和特征向量的数值解法第9章常微分方程初值问题的数值解法本课程的特点：实用性强。要求掌握：1．数值分析的基本概念2.各种计算方法的基本思想、推导过程、计算过程和在计算机上如何实现3．某些计算方法的误差估计和收敛性的判别理论上课时

2、数：40上机实验时数：8参考书：1.《数值逼近》李岳生、黄友谦2.《数值分析》李庆扬、王能超、易大义第1章误差1.1误差的来源1.2误差、误差限和有效数字的概念1.3相对误差和相对误差限的概念1.4数值运算的误差分析1.5数值计算中的注意问题1.1误差的来源按误差所产生的原因，归纳起来可以把误差分为四种:模型误差、观测误差、方法误差(截断误差)和舍入误差。1.方法误差用近似方法得到的解与数学模型的准确解之间必然存在误差，这种误差称为方法误差，有时也称为截断误差。例如，求的解。简单迭代法牛顿迭代法2.舍入误差舍入得到的数与准确数之间的误差，称为舍入误差。1.2误差、误差限和有效数字1.误差定义

3、1-1设准确值误差也称为绝对误差。，则近似值与准确的近似值为值之间的差称为误差。（1.1）当误差为正值时，说明近似值偏大，此时称为强近似；当误差为负值时，说明近似值偏小，此时称为弱近似。误差有时记为2.误差限定义1-2若，则近似值的误差限也记为称为近似值的误差限。。例1-1假设用米尺来测量某物体的长度，测得其长度为835毫米，求出该物体实际长度的范围。解设该物体的实际长度为x，则由米尺的精度可以知道，近似值与准确值之差的绝对值不会超过半个毫米。即有毫米亦即834.5毫米≤x≤835.5毫米或毫米3.有效数字当一个数值有很多位小数时，我们常常按四舍五入的原则取这个数的有限位数来表示这个数。例如

4、：取6位数字得取3位数字得取5位数字得这个数经过四舍五入之后所得到的近似值，它的误差限是它末位的半个单位。可以证明：对任何数经过四舍五入之后所得到的近似值，它的误差限都是它末位的半个单位。定义1-3若近似值x*的误差限为该值的某一位的半个单位，且从该位开始往左数到的第一位非0数字共有n位，则称近似值x*具有n位有效数字。例如，具有3位有效数字。这是因为规律：凡是经过四舍五入所得到的近似值，它的有效数字位是等于从该近似值的末位开始往左数起到第一位非0数字的位数。同理，具有5位有效数字。具有6位有效数字。例如，0.0456780.04573位具有3位有效数字又如，8.00058.003位具有3位

5、有效数字例1-2若近似值的近似值为，则有多少位有效数字?解顺便指出，准确值我们通常称它具有无穷多位有效数字。的误差限为该值小数点后第三位的半个单位，由有效数字的定义得知，具有4位有效数字。4.有效数字与误差限的关系设准确值，且将的近似值为则近似值表示为（p为整数，为0～9之间的数字）若有（1.2）具有n位有效数字。按照这个定义，如果知道近似值的误差限，就可以知道它有多少位有效数字；反过来，如果知道近似值有多少位有效数字，就可以知道它的误差限为多少。例1-3假设解=0.0012345=0.12345=0.0012345是准确值的具有5位有效数字的近似值，则它的误差限为多少？所以有由此得到即的

6、误差限为例1-4利用有效数字与误差限的关系求解例1.2。因此，求得解由于从而得到而即3.1415有4位有效数字。1.3相对误差和相对误差限1.相对误差两个工人的技术水平是否一样？工人B：20001两个工人的次品率：工人A：10001（1.3）定义1-4若记，则称为的相对误差。近似值的相对误差有时也记为。相对误差也定义为2.相对误差限，则定义1-5若记称为近似值对（1.3）两边取绝对值后得到。的相对误差限。近似值的相对误差限有时也记为3.相对误差限与有效数字的关系（1.4）另一方面，对定理1-1若近似数则其相对误差限为具有n位有效数字，证据题意，具有n位有效数字，按有效数字的等价定义有从而于是

7、两边求绝对值得到有效数字位越多，相对误差限就会越小。例1-5已知因为n=4，由公式（1.4）得用来表示具有四位有效数字，求的相对误差限。解所以的相对误差限为定理1-2若近似数，且相对误差限满足关系式则具有n位有效数字。证据有效数字的等价定义，我们只须证明从而证得具有n位有效数字。1.4数值运算中的误差估计从而有的相对误差对于近似值，函数在舍去右边第二项得到（1.6）即的绝对误差由（1.6）可以得到附近按泰勒展