数值分析课件 (第9章)

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1、第九章常微分方程初值问题的数值解法内容提要9.1引言9.2简单的数值方法与基本概念9.3龙格-库塔方法9.4单步法的收敛性与稳定性9.1引言虽然求解微分方程有许多解析方法，但解析方法只能够求解一些特殊类型的方程，从实际意义上来讲。我们更关心的是某些特定的自变量在某一个定义范围内的一系列离散点上的近似值。一组近似解称为微分方程在该范围内的数值解寻找数值解的过程称为数值求解微分方程。9.2简单的数值方法与基本概念1、欧拉方法0xyP0P1P2Pn-1Pnxnyny(xn)xnyny(xn)0.10.20.30.40

2、.51.10001.19181.27741.35821.43511.09541.18321.26491.34161.41420.60.70.80.91.01.50901.58031.64981.71781.78481.48321.54921.61251.67331.73212、后退的欧拉方法2、后退的欧拉方法3、梯形方法等式(2.4)右端积分中若用梯形公式近似，则得到梯形方法。xnyn

3、y(xn)-yn

4、0.10.20.30.40.51.1105261.2432131.4003931.5846451.79881

5、80.0001844790.0004077790.0006760270.0009962100.0013762854、单步法的局部截断误差与阶5、改进的欧拉公式xnyny(xn)xnyny(xn)0.10.20.30.40.51.09591.18411.26621.34341.41641.09541.18321.26491.34161.41420.60.70.80.91.01.48601.55251.61531.67821.73791.48321.54921.61251.67331.73219.3龙格-库塔方法1

6、、显式龙格-库塔法的一般形式2、二阶显式R-K方法3、四阶R-K方法4、单步法的收敛性知识结构图九常微分方程初值问题数值解法单步法线性多步法阿达姆斯显式与隐式方法米尔尼方法与辛普森方法汉明方法预测-校正方法主要方法重要概念（截断误差、方法精度、收敛性、相容性、绝对稳定性等）主要方法欧拉方法梯形方法龙格-库塔法（包括改进的欧拉法）构造方法（数值积分法、泰勒展开法）方程组与高阶方程End!