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1、七、线性变换习题课1．复习线性变换的概念例1将C看成R上的线性空间，变换是线性的，看成C上的线性空间则不是。证明：R上：有== 又 故A是R上线性空间C的线性变换。 C上：取及，有，而 ，故A不是C上线性空间C的线性变换。由上例，变换A是否为线性变换与所讨论的数域有关。2．利用运算的意义，运算律推证线性变换的等式，利用线性变换与n阶方阵代数同构解决有关问题。 例2设A,B是线性变换，如果证明： ，（k>0）证明:由已知,对k=1结论成立,故考虑用数学归纳法. 对k用归纳法.当
2、k=1时结论成立.K=2时,由已知 =AB=(BA+E)A+A-BA2 =BA2+A+A-BA2=2A 结论成立. 设当k时结论成立,即,也即. 当k+1时, =ABAk+AkAk-1-BAk+1=(BA+E)Ak+kAk-BAk+1 =BAk+1+Ak+kAk-BAk+1=(k+1)Ak 所以结论对k+1也成立,从而对一切k1成立. 例3设V是数域P上n维线性空间,证明:V的与全体线性变换交换的线性变换是数乘变
3、换.证明:需要表达出线性变换,联系到某基下的矩阵. 设令A,B在某基下的矩阵分别为A,B. 因为,所以由得AB=BA.由的任意性,也是任意的,从而存在某个k使得A=kE为数量阵(P.204,ch.4.ex.7.3),于是为数量变换.有了变换乘积,进一步可考虑可逆变换.3.系统小结可逆线性变换的的等价条件,并举例说明一些基本论证方法. A可逆10存在使=E. A是双射. A在基下的矩阵A可逆—有限维 例4设是线性空间V的一组基,A是V上的线性变换,证明:可逆当且仅当线性无关.证明:证法
4、一:“”,,若=0,有B()=0,即=0,=0,即线性无关.“”线性无关, 因dimV=n,故使得 =A() 令使=() 易见,且,即 又任给设= 有()==故,从A可逆.证法二:利用双射“”A是双射,则0==A() 得0=(0对应0) 故,线性无关.“”由dimV=n,V的任一向量可由唯一表示,即V中任一向量有唯一(要证明)原像(显然).故A是双射.证法三:利用矩阵A可逆A在下的矩阵A可逆 ()A也是一组基=n 线性无关 例5设,W1,W
5、2是V的子空间,且,则可逆.证明:由,有V,可设W1的一组基为,W2的一组基为,则为V的一组基.“”A可逆,故线性无关,1,2的秩为r,n-r, 和分别为1和2的基,故.“”,有dimV=dim,=(),故为AV的一组基,即线性无关,A可逆.4.小结:线性变换矩阵的求法,进一步掌握矩阵的概念. 为V的一组基, ()=()A,()=()X为另一组基,有 ()=()例6在空间P[x]n中,是线性变换,求在基,下的矩阵.证明:首先由ex.1.5)知,是线性变换,是线性变换,故是线性变换. 其次,只要求出,用表示,就可得A. =(1)=1-1=0,
6、 =- = =所以,(,)=(,),所求矩阵为.例7设三维线性空间V上的线性变换A在基下的矩阵为,1).求在基()下的矩阵;2).求在基()下的矩阵,其中k;3).求在基()下的矩阵.证明:1). = = ==()=()所求矩阵为。又可()=()=（）故所求矩阵为A2)=()又()=()故所求矩阵为A=A3).= = = = 所求矩阵为又()=()故所求矩阵为A = A例8,在任一组基下矩阵都相同,则是数乘变换.证明:要证在任一组基下矩阵是数量阵. 设在基下
7、下的矩阵为A,对任一n阶非退化方阵X,()=()X为V的另一组基,在此基下的矩阵为即,由的任意性,A为数量阵.事实上,此时A与任意可换:设可逆矩阵使,则可逆,与A交换,得 于是,由P.204ex.73),A为数量阵,从而为数量变换.例9证明:下面两个矩阵相似,其中是1,…,n的一个排列:,.证明:曾在二次型中证明过它们合同,显然它们等价,将它们看成一个线性变换在不同基下的矩阵.设,在基()下的矩阵为A,则显然()是V的另一组基,此基下的矩阵为B.将线性变换与方阵的特征诸概念列表对比,指出异同,明确求法. 线性变换矩阵A特征多项式特征值特征向量有限维例1
8、1设是线性
